這篇文章將討論一種晦澀但強大的積分技術，它通常被稱為積分符號下的微分，但有時也被稱為「費曼技術」，因為費曼在他的書中推廣了這種技術，並被稱為萊布尼茨積分規則。
開始之前有一點需要澄清：雖然萊布尼茨規則有時被稱為「費曼技術」或類似的名稱，但它不能與費曼的量子力學路徑積分公式相混淆。
讓我們從計算以下積分的問題開始：
費曼引用的那本書是由麻省理工學院的數學家弗雷德裡克·伍茲在1926年出版的《高等微積分》，這個積分來自於那本書。
你可以試試你在微積分中學到的常用技巧。三角替換，變量替換，分部積分，用級數替換被積函數，這些都不行。你也可以試著讓Wolfram Alpha計算它，它會超時。我們需要創造力！
您首先應該觀察到α是關於積分的任意常數。由於定積分將是一個取決於α的數字，我們可以把這個積分看成是的函數。該方法如下：
把積分看作f()的函數；計算一些特定的便捷α值的積分。在這種情況下，如果α等於1，則積分等於0，這使我們得出條件f（1=0。在最後一步中將需要此條件；對積分求導；計算關於x的定積分；關於α無限積分；利用f(1) = 0這一條件來計算積分常數的值。我們所做的是把這個問題從計算積分變成了求解一個簡單的微分方程。觀察：
似乎我們只會把問題搞得更複雜了。底線末端的積分看起來特別可怕，但它可以用一點代數技巧來計算。
最後一個積分比看起來要簡單。我們要消去餘弦函數。為此，我們可以用換元法。
我們快完成了，我們將進行替換：
注意，由於|α |大於等於1，u是正的或者0，y的取值範圍是從0到負無窮。因此：
因此，我們最終得到了關於的微分方程：
對f(1) = 0進行積分，利用f(1) = 0這一條件，可以完成積分的計算：
這就完成了計算。
在第一個例子中，我們微分的參數已經出現在被積函數中了。然而，在積分符號下微分的真正力量在於，我們還可以自由地將參數插入被積函數中，以使它更易於處理。下面的積分來自於2005年威廉·洛厄爾·普特南數學競賽。
對於那些不知道的人來說，普特南競賽是一項解決問題的競賽，每年12月，數學專業的學生都會參加。它以難度高而著稱，平均得分通常在0到1分之間(滿分120分)。所以這個積分應該是非常困難的，儘管它看似溫和的外表(順便說一下，是一個技巧：測試是有時間限制的，所以這是一個陷阱讓你浪費時間試圖與初等微積分計算的積分技術)。然而，通過引入一個參數並使用我們開發的技術，這個積分可以變得非常簡單。
開始：
注意，這意味著原來的積分是I(1)而I(0) = 0。現在讓我們像以前一樣繼續：
第二行是通過部分分式分解得到的。這些是基本積分，可以立即計算以獲得第三行。由於I（0）= 0，根據微積分的基本定理：
注意，我們也可以像第一個例子那樣，用a來解I的微分方程，然後使用I(0) = 0條件來確定I(a)在代入a = 1之前。在這裡使用FTC可以做同樣的事情，但是可以縮短一些步驟。
這是一個可以用標準方法立即計算的基本積分。其結果是：
所以這個問題的解決方案是：
這是2005年考試的答案。請注意，答案討論了處理此積分的其他技術，但這種方法是迄今為止最簡單、最優雅的，更不用說最快速的方法了。
數學問題解決中最重要的技能之一是概括的能力。一個給定的問題，比如我們剛剛計算出的積分，可能看起來本身就很棘手。然而，退一步考慮這個問題，不是孤立的，而是作為整個相關問題類別的一個單獨的成員，我們可以辨別出以前對我們隱藏的事實。試圖計算特定值的積分a= 1太困難l ，因此，我們為每個可能的a值計算了積分值。矛盾的是，在許多情況下，解決一個普遍的問題實際上比解決一個特定的問題要容易得多。
我也認為這強調了願意在課堂之外學習的重要性。通常在數學和科學課程中，時間限制和其他因素意味著有時教育工作者別無選擇，只能在課程中不包括某些科目。這意味著如果你不主動引導你自己的學習，那麼你就會錯過很多潛在的非常有趣和有用的知識。