求不定積分沒有那樣容易,即使一個看起來並不複雜的函數，要求出結果，有時候都需要一定的技巧，有些甚至還「積不出」。本節介紹一下有理分式的拆項與積分技巧。
求不定積分的主要方法有「拆、變、湊、換、分、套」。「拆」，即將被積函數拆項，把積分變為兩個或幾個較簡單的積分。「變」，即代數恆等變形：加一項減一項、乘一項除一項、分子分母有理化、提取公因子；配完全平方：根號下配完全平方、分母配完全平方等；「湊」，即湊微法（第一類換元法）。「換」，即第二類換元法（三角代換、倒代換、指數代換法等）。「分」，即分部積分法。「套」，即套基本公式。
求不定積分的主要技巧在一個「巧」字和一個「練」字，即巧用上述方法和綜合運用上述方法。
有理函數 是指由兩個多項式的商所表函數，即
其中m和n都是非負整數； 及 都是實數，通常總假定分子多項 式與分母多項式 之間沒有公因式，並且
當 時，稱 為真分式；而當 時，稱 為假分式
一個假分式總可化為一個多項式和一個真分式之和的形式例如
多項式的積分容易計算，因此，有理函數的積分主要是解決真分式的積分問題，而真分式的積分往往是轉化為最簡分式來計算．鑑此，我們先來討論真分式分解為最簡分式問題
（1）拆項技巧一：將分母n項的原式拆成2個n-1項
例1：計算積分
解：
所以原積分
（2）拆項技巧二：分子通過加減某一表達式約掉分母的部分，達到裂項的目的；
例2：計算積分
解：
而：
因此：
故原積分
（3）拆項技巧三：分子分母同乘一個因子後，變得容易積分；此技巧不僅僅在有理分式積分時可用，也可用於其他場合；
例3：計算積分
解：
。。。。
（4）技巧四：在分子抽取一個x和分母的整體或者部分組合，作為分部積分的一個部分。
例4：計算積分
解：
。。。
這種」吃掉」分子一個x的技巧是相當有用的，該技巧也適用於其他場合通用方法；
在實數範圍內，真分式 總可以分解成最簡分式之和，且具有這樣的對應關係：
①如果 中有因式 ，那麼分解後相應有下列 個最簡分式之和
其中 都是常數特別地，如果 ,那麼分解後只有一項 ；
②如果 中有因式 ，其中 ，那麼分解後相應有下列k個最簡分式之和
其中 都是常數特別地，如果 ，那麼分解後只有一項
有理真分式總能分解為若干個部分分式之和的形式（部分分式是指這樣一種簡單分式，其分母為一次因式或二次質因式）。從而得到，有理真分式的積分總可以歸納為以下四種形式的部分分式的積分：
（1） （2）
（2）
（3）
綜上所述，有理函數分解為多項式及部分分式之和以後，各個部分都能積出，且原函數都是初等函數，因此，有理函數的原函數都是初等函數。
由上述定理，我們得到求有理真分式不定積分 的步驟書為：
第一步將 分解為（2）的形式；
第二步將 分解為（3）的形式；
第三步求各部分分式的原函數。 習題（答案見下一期）：
【習題1】：計算積分 。
【習題2】：計算積分 。
【習題3】：計算積分 。
上一期的習題答案：
【習題1】：求
。
提示設 ，則
由不等式公式 ，所以
從而：
因此
答案：
【習題2】：使用夾逼定理證明 。
提示：可設 ，
因此有：
所以： ，從而有：
。。。
【習題3】：求 。
提示：
而
答案：
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