12種積分方法與技巧

2021-02-20 高等數學

積分的計算不像導數與微分那樣簡單，其中包含豐富的技巧是需要通過大量的訓練才能掌握的.  當然，也有很多同學因此迷戀上了數學.  另外，積分的計算是高數中最重要的內容之一，多元微積分是以此作為基礎的，希望大家給予充分的重視.  本文歸納、總結了一些基本積分方法和常見積分技巧.

基本方法：

常用技巧：

湊微分

變量代換

三角函數代換

根式代換

倒代換

複雜函數直接代換

恆等變形後三角代換

分部積分

有理函數積分

配對積分法

積分再現(循環法)

對稱法

奇偶函數

區間再現

遞推法

公式法

下面我們通過一些具體例子來進行說明.

湊微分

最簡單的積分，莫過於如下形式：

其中 稱為函數 f(x) 的微分. 因此，在計算過程中，如果能湊出一個微分，那麼計算難度將會直線下降.

例1  計算積分

解：

        

分部積分法

被積函數出現兩個或多個函數的乘積，通常可以考慮分部積分.

問：誰和 dx 優先結合？

答：哪個函數積分容易，就優先和 dx 結合成一個微分. 

被積函數是 f(x) 和的乘積，顯然  的積分是容易計算且為 g(x)，因此， 和 dx 結合為 dg(x).

一般地，按照「反對冪三指」的原則，將排列在後面的函數優先和 dx 結合. (註：「反對冪三指」分別是，反三角函數、對數函數、冪函數、三角函數、指數函數).

例2  計算積分.

分析：顯然，x 的積分要比 lnx 積分容易，因此，x 和 dx 先結合；或根據「反對冪三指」的原則，x 和 lnx 分別為冪函數和對數函數，冪函數排在對數函數後面，故冪函數 x 先和dx結合.

解：

例3  計算.

解：根據「反對冪三指」的原則，先將 sin x 和 dx 結合，有

上述過程可以用分部積分無窮無盡做下去，這就涉及到無限個函數求和的問題，因此，上述積分需要使用級數知識進行求解：可以將 sin x 泰勒展開再逐項積分. 這道例題告訴我們，不是所有的初等函數的積分都可以用初等函數表示出來的~

配對積分法

例4  計算  .

解：設

於是

從上面兩個等式，消去 J 即可求得 .

積分再現(循環法)

例5  計算積分.

解：

上式右邊出現了左邊一樣的積分，故為「循環法」，移項即可求得！

區間再現

令 x=a+b-t 之後，積分上下限保持不變！故為「區間再現」.

例6  設 f(x) 在 [0,1] 上連續，證明：

[參見《高數》(同濟大學第7版)上冊 249頁 例6(2)]

遞推法和公式法

例7  計算.

[參見《高數》(同濟大學第7版)上冊 253頁 例12]

其中Wallis公式要求大家記住！

註：如果對上述技巧有疑問或需要例子加以說明的，請在文末留言！我們將選取大家疑惑比較多的，在下一講進行重點闡述~

其他方法教材上都有例題，不再贅述！

相關焦點

  • 積分的計算方法、技巧、思路總結
    點擊上方「考研數學帝」關注我們，成為數學老司機哦~積分的計算方法、技巧、思路總結
  • A-level數學涉及到的所有三角函數相關的積分技巧
    等微分技巧；而積分除了基本的積分公式外，涉及到的積分技巧比較多，包括reverse chain rule, by substitution, trigonometric identities, partial fraction, integration by parts等，另外三角函數積分又是積分問題中的重要部分，不但涉及到三角恆等關係式(Trigonometric identities)，還會涉及到前面提到的積分技巧
  • 高等數學 | 有理分式積分技巧
    本節介紹一下有理分式的拆項與積分技巧。 求不定積分的主要方法有「拆、變、湊、換、分、套」。「拆」，即將被積函數拆項，把積分變為兩個或幾個較簡單的積分。「變」，即代數恆等變形：加一項減一項、乘一項除一項、分子分母有理化、提取公因子；配完全平方：根號下配完全平方、分母配完全平方等；「湊」，即湊微法（第一類換元法）。「換」，即第二類換元法（三角代換、倒代換、指數代換法等）。
  • 不定積分小技巧
    作為數分上冊的收尾，數分下冊的基礎，今天，我們再來回顧一下不定積分的一些解題技巧。（換元的意思是改變自變量）課本上已經有了的基礎公式就不貼出來了，這裡再補充另外幾個：這個方法我認為是最好理解的一種，但是，往往題目中涉及的技巧性非常強，在一些複雜的積分問題中
  • 三重積分交換積分次序技巧
    有些三重積分，直接計算時很複雜，甚至出現沒有原函數的情形，似有山重水複疑無路之感。若將三重積分進行積分次序交換，則會有柳暗花明又一村之效，從而化複雜為簡單，化不可能為可能。三重積分的積分次序交換原則：鄰近平面交換原則；第三變量常數原則。
  • 2016考研數學:對稱型定積分計算技巧
    在高等數學或微積分中，定積分是一個最基本、最重要的組成部分，在考研數學中它既是一個基本考點，同時又是重積分和曲線積分、曲面積分的基礎，另外，在數學一和數學三的概率統計部分，關於概率的計算也往往要用到定積分，因此，大家對定積分的計算方法和一些技巧應該熟練掌握。
  • 高中數學丨學霸都會的解題技巧,用12種方法求多元函數的最值
    多元函數的最值問題就是在多個約束條件下,某一個問題的最大和最小值.在所列的式子之中,有多個未知數.求解多元函數的最值問題技巧性強、難度大、方法多，靈活多變，多元函數的最值問題蘊含著豐富的數學思想和方法.解題辦法常有：導數法、消元法、基本不等式法、換元法等最終得到了12種處理多元函數的最值問題的方法
  • 數學天才——理察·費曼的積分技巧,高等數學還可以這麼簡單
    讓我們從計算以下積分的問題開始：費曼引用的那本書是由麻省理工學院的數學家弗雷德裡克·伍茲在1926年出版的《高等微積分》，這個積分來自於那本書。你可以試試你在微積分中學到的常用技巧。三角替換，變量替換，分部積分，用級數替換被積函數，這些都不行。
  • 高等數學入門——利用基本積分公式和性質計算不定積分的方法和典型例題
    系列簡介：這個系列文章講解高等數學的基礎內容，注重學習方法的培養，對初學者不易理解的問題往往會不惜筆墨加以解釋。
  • 求解不定積分時的技巧和陷阱,準備考研的你不容錯過
    在不少不定積分考題中，經常會出現一些陷阱，導致學生不經意間丟掉不該丟的分數。同識別陷阱同樣重要的是技巧，掌握接下來幾大技巧將大大有助於提高解決問題的能力。1. 待定係數法，三角換元陷阱對於習題1，不能用正弦函數換元，因為這將改變原不定積分中自變量的定義域。
  • 積分計算走一波
    在高等數學裡，關於積分學習內容比較多，如不定積分、定積分、二重積分、三重積分、曲線積分與曲面積分，這些計算都與不定積分、定積分關係密切，所以在學習不定積分及定積分時一定要多練習，熟練掌握相關計算。下面這道題是求極限，但利用定積分定義轉為為積分計算問題（轉化的積分你會使用積分公式還是三角換元來計算呢？），這裡需要提醒大家的是，歸納極限計算方法時不要忘了把「利用定積分求極限」這種方法歸納進去。
  • 色譜手動積分指南
    （點擊可以閱讀原文）乾貨：原子吸收光譜儀使用中226個實踐問題及答案（二）（點擊可以閱讀原文）高效液相色譜儀的正確使用與維護（點擊可以閱讀原文）氣相色譜儀柱前衍生化的常見方法（點擊可以閱讀原文）乾貨：高效液相：流動相氣泡產生的原因及影響（點擊可以閱讀原文）液相常見6種問題色譜峰解決方法（有圖），你都見過幾個？
  • 百度萊茨狗繁殖功能即將推出,獲取微積分有4種方法!
    登陸百度萊茨狗 - 我的狗窩，左上角有公告，「繁殖功能即將到來，敬請期待」，而右上角，則是籤到領微積分的功能。在頭部的 banner 廣告位置，則是邀請好友送積分的活動。據筆者所知，目前已經有 4 種獲取微積分的方法：1、免費領取萊茨狗，每隻送 1000 微積分，最多可獲得 4000 分；2、邀請好友獲得微積分，最高可獲得
  • 2021高考備考技巧:高中數學21種解題方法與技巧
    向學霸進軍整理2021高考備考技巧之高中數學21種解題方法與技巧，和大家分享，為您的高考助一臂之力。 2 因式分解 根據項數選擇方法和按照一般步驟是順利進行因式分解的重要技巧。
  • 附積分方法總結!
    多項式分式如果分母相對來說比較簡單（什麼叫分母簡單呢，就是你把分子全部換成1以後，這樣的分式你會積分計算，那就可以判斷成分母較為簡單）如這樣的一些分母：這些分母形式都是可以直接套用公式，或者通過簡單的換元/湊係數的方法進行快速的積分，因此我們把他們歸成簡單的分母
  • 湊微分法解常見函數的積分方法
    在求一個函數的不定積分時，其實我們是在解決，已知函數的導數，求函數原型的問題。而無論採用何種方法，理應是求得的結果，相同或者是恆等的。那麼，總結一下，在面對函數的不定積分時，如何求得呢？思路應該是按下步驟。1.
  • 不定積分∫arctanxdx/(1+x)^3用到了哪些方法?
    主要內容詳細介紹求不定積分∫arctanxdx/(1+x)^3過程中用到的不定積分計算方法。x+2)/(1+x)^2-x/(x^2+1)]dx[④裂項分解法]=(1/4)∫(x+1+1)dx/(x+1)^2-(1/4)∫xdx/(x^2+1)=(1/4)∫dx/(x+1)+(1/4)∫dx/(x+1)^2-(1/8)∫dx^2/(x^2+1)=(1/4)ln|x+1|+(1/4)∫dx/(x+1)^2-(1/8)ln(x^2+1)[⑤自然對數不定積分
  • 高數上分小技巧(第2期):積分的整體思想
    關注小馬，每期給你帶來一個秒殺小技巧！本期的主題是：求積分中的整體思想今日，小馬在高數群內看到有人問了這樣一道題，先來看看其模樣：剛開始我也沒有用什麼技巧，就是強解，畢竟也費不了多少腦細胞所以，同學們以後在遇到此類複合函數的積分時，想想在湊微分時能否用到整體的思想去解決。本期上分小技巧的分享到此為止，小馬與你下期再見！
  • 2020江西教師招聘易考點:分部積分法則
    分部積分法是求不定積分和定積分的一個重要的方法，這個方法在求不定積分和定積分中運用得很廣，可以說想要掌握不定積分和定積分這個方法是必須要會的．很多同學在這一塊都覺得很頭疼，抓不到方向，今天就讓我們一起來學習一下分部積分法．
  • 一種十分強大的積分技術:費曼積分法
    今天的文章將討論一種晦澀但強大的積分技術，它通常被稱為積分符號下的微分，但偶爾也被稱為「費曼技術」，因為他在書中推廣了這一技術，也被稱為萊布尼茨積分規則。在我們開始之前，有一點需要澄清：雖然萊布尼茨規則有時被稱為「費曼技術」或類似的名稱，但它不應與費曼的量子力學路徑積分公式相混淆。