積分的計算方法、技巧、思路總結

點擊上方「考研數學帝」關注我們，成為數學老司機哦~

積分的計算方法、技巧、思路總結

歷年考研數學對積分部分考查綜合性強,是考研數學考查的重中之重,所佔比重最大。本文將梳理不定積分、定積分及二重積分的基本計算思路及方法，目的是使知識系統化。

一、不定積分

不定積分的計算是整個積分運算的基礎，定積分、重積分的計算都是依賴於此。因此掌握不定積分的計算方法和思路非常重要。

不定積分計算的根本是最基本的積分公式，我們將這些公式分為兩種，一種是基本初等函數的積分公式，一種是在計算積分的過程中得到的一些公式，例如：

這些公式在今後的計算中經常用到，所以也總結在基本積分公式中，需要同學們記憶並熟練應用。在基本公式的基礎之上，掌握常見的積分法即可正確解題，需要清楚的是，不管是何種積分方法，最終都是轉化為用基本積分公式解題。

   常見的積分法：第一類換元積分，又稱為湊微分法，用來解決被積函數中同時存在原函數與導函數的情況，基本思想是

第二類換元積分是與第一類換元法相反的思路，在計算過程中應用得很頻繁，基本思想是

分部積分法主要解決兩類不同類型的函數的乘積形式的積分，尤其是含有反三角函數、對數函數時的積分，基本思想是

關鍵點是u、v的選取。

常見的基本題型包括：有理函數的積分；可化為有理函數的積分（包括：三角有理式、指數有理式）；根式的處理；分部積分法的使用等。

二、定積分

定積分的計算包含兩方面：一、基本思路是牛萊公式，利用不定積分的解題方法來計算；二、利用對稱區間及函數的基本性質來解題，主要是運用函數的奇偶性。

1、利用不定積分的計算方法

1）換元法

2）分部積分法

2、對稱區間上函數定積分的計算

1）利用奇偶性

2）被積函數本身無奇偶性，直接計算積分又難算時考慮變量代換，令x=-u。

三、二重積分

計算二重積分的基本思路是將其化作累次積分（也即兩次定積分），要把二重積分化為累次積分，有兩個主要的方式：一是直接使用直角坐標，二是使用極坐標。這是我們計算二重積分的兩個主要的武器。

首先，對直角坐標來說，主要考點有兩個：一是積分次序的選擇，基本原則有兩個：一是看區域，選擇的積分次序一定要便於定限，說得更具體一點，也就是要儘量避免分類討論；二是看函數，要儘量使第一步的積分簡單，選擇積分次序的最終目的肯定是希望是積分儘可能地好算一些，實踐表明，大多數時候，只要讓二重積分第一步的積分儘可能簡單，那整個積分過程也會比較簡潔，所以我們在拿到一個二重積分之後，可以根據它的被積函數考慮一下第一步把哪個變量看成常數更有利於計算，從而確定積分次序。二是定限，完成定限之後，二重積分就被化為了兩次定積分，就可以直接計算了。

以上是我們計算二重積分的主體思路，在此基礎之上，我們還可以利用對稱性，它在二重積分的計算中雖然屬於輔助性的技能，但如果恰當使用的話，還是可以明顯地簡化計算。

二重積分中的對稱性分為兩種：一是奇偶性，二是輪換對稱性。一般來說，對稱性應該使用在拿到一個二重積分之後的第一步，只要積分區域關於某坐標軸是對稱的，就要先檢驗被積函數是否具有相應的對稱性，尤其要注意有沒有奇函數，以儘可能地簡化計算。