三重積分交換積分次序技巧

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有些三重積分，直接計算時很複雜，甚至出現沒有原函數的情形，似有山重水複疑無路之感。若將三重積分進行積分次序交換，則會有柳暗花明又一村之效，從而化複雜為簡單，化不可能為可能。

三重積分的積分次序交換原則：

鄰近平面交換原則；

第三變量常數原則。

解釋  對於三重積分

其積分次序為z→y→x，如果要將積分次序換為x→z→y，即

則應分兩步進行：

第一步，將z看作常數，原積分在xoy面的區域DXY(z)交換積分次序，原積分變為

第二步，將y看作常數，此積分在xoz面的區域DXZ(y)交換積分次序，此積分變為

同理，要將積分次序z→y→x換為z→x→y，則先將x看作常數，原積分在yoz面的區域DYZ(x)交換積分次序，再將y看作常數，在xoz面的區域DXZ(y)交換積分次序即可。

例1  將三重積分

交換積分次序為x→z→y。

解  第一步，將z看作常數，在xoy平面區域為：

0<y<1-x，0<x<1

交換次序後為：

0<x<1-y，0<y<1

原積分變為：

第二步，將y看作常數，在xoz平面上區域為：

0<z<x+y，0<x<1-y

其中0<y<1。該區域如圖：

交換積分次序後為兩部分：

0<x<1-y，0<z<y

z-y<x<1-y，y<z<1

因此，交換積分次序後最終結果為：

例2  計算三重積分

解  直接計算很複雜，考慮計算時最後進行z變量的積分，這樣可減少計算量。因此交換積分次序:

例3  計算三重積分

解  由於被積函數沒有顯式原函數，可以通過交換積分次序來計算。首先交換y和z，這時將x看作常量。

此積分被積函數還是不能積出，繼續交換積分次序：

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