《定積分與重積分計算的換元法》內容小結、題型與典型題

一、定積分的換元法

設φ(t)為Dt=[α,β]上的單調連續可微函數，f(x)在φ(α),φ(β)構成的閉區間Dx上連續，其中

如果φ(α)<φ(β)，則Dx=[φ(α),φ(β)]；

如果φ(β)<φ(α)，則Dx=[φ(β),φ(α)]；

則有如下定積分換元公式：

【注】依據定積分換元的「下限對下限，上限對上限」的換元計算原則：

●當φ(t)單調遞增，φ』(t)>0，則即有積分

●當φ(t)單調遞減，φ』(t)<0，則即有積分

即在兩端都符合定積分的標準形式，下限小於上限的情況下，具有如上統一的積分式。積分下限小於積分上限，即可以直觀認為dx，dt都為線段(區間)的長度，所以都要求大於0，也即標準定積分形式要求變量微元大於。這與重積分的dσ、dV表達式面積、體積要求大於0要求一致。

 

二、重積分的換元法

一般性結論：設f(X)在有界閉區域DX上連續，存在一對一的變換T:X=X(U)將閉區域DU變換成DX，且滿足：

a) X(U)在DU上有一階連續偏導數；

b)在DU上雅克比行列式J(U)=∂X/∂U≠0，

則有

●二重積分：T:x=x(u,v),y=y(u,v)，則雅克比行列式為二重積分的換元公式為：

●三重積分：

T:x=x(u,v,w),y=y(u,v,w),z=z(u,v,w)，則雅克比行列式為三重積分的換元公式為：

三、典型應用結果

●二重計算的極坐標計算公式：

●三重計算的柱坐標計算公式：

●三重計算的球坐標計算公式：