淺談群內一道有理分式積分題的解法

2021-02-15 小馬帶你玩轉高數
昨日，群內有位同學拍了一道題發在群裡，以尋求幫助，那小馬就先來給各位看看這道題的真面目：

看到這道題，小馬大腦裡的第一感覺就是能不能用倒代換的方法去解決（或者叫做秒殺）

顯而易見，倒代換絕對行得通（相信小馬的第一感覺），二話不說，先把倒代換的過程抬上來

但是小馬怎麼願意用秒殺的方法去解題呢，畢竟這場微積分的戰鬥結束得也太快了叭！（開個玩笑，莫怪）

其實，是因為——熱愛數學的小馬怎麼能止步於此？生命不息，探尋數學不止，人就應該為了自己的熱愛著的夢想而奮鬥！（此處應該有掌聲）

於是乎，小馬轉念一想，分母裡面的兩個相加式子均可提出一個x，是否可以用因式分解解決此題？

先來看看小馬的因式分解過程：

看完之後，同學們可能就會有疑問了，小馬剛開始的那一步待定係數法是什麼意思？是不是小馬又用了什麼高級的公式？

那接下來小馬就帶你知其然亦知其所以然～

其實呢，這裡運用了「部分分式求積分法」

不知道你們的微積分老師有沒有講過，反正小馬的微積分老師陳錦輝是講過的！（下面小馬以筆記的方式呈現給同學們）

這裡可能有同學會有疑惑，明明在原式中x-1是在分母中的，不能取x=1，但是，其實這裡用了一個小技巧，取x趨向於1，相當於兩邊乘以一個接近於0的值，然後再求x趨向於1時，就得到了A的值。總之，這種方式是有效的，且做題非常快。小馬稱之為「掩蓋法」（類似於賦值法）


如果分母Q有重複的因式，怎樣建立等式呢？

不過上圖小馬的筆記出現了一個小小的失誤，那個叫「掩蓋法」，而不是「賦值法」哦~（非常抱歉）不過這裡最重要的是要掌握分拆的規則

後面的這個解法已經回到了前面的情況，那同學們也就知道如何處理了。

註：若同學們有什麼數學相關的問題都可以在公眾號後臺回復，說不定哪天你的問題就上了小馬的推文了



關注小馬不迷路，小馬帶你學高數！

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