一道對數比大小問題的解法及溯源

2021-03-01 徐小平數學園地

分享一篇昌毅的文章，關於一道對數比大小問題的研究，該文已被福建中學數學雜誌錄用。

分享之前先拋一個我的比較土一點的解法

題目：

首先，看到對數式的底數均不相同，基本想法就是用換底公式變形，習慣上選用以10為底的對數，（畢竟是「常用」對數嘛），變形完自然就去作差咯。

於是，

下面要判斷符號，那麼理性思維能力和基本活動經驗就很重要了，一方面，要會觀察和分析，對數相乘沒有運算公式可以化簡變形，但對數相加可以，這裡比較複雜的是lg3lg8，於是想到均值不等式將積化成和便能化簡，另一方面如果熟悉下面一道教材P141習題13（2）（這個問題的一般情況在我讀高中的時候做過，當時還挺得意自己在沒做過任何相似問題的情況下證明了函數logx（x+1）的單調性）的解法，那麼很自然地也能聯想到均值不等式，這也提醒同學們要在高中數學學習過程中不斷積累基本活動經驗，形成思維方法。

下面回到原題，由於

因為要和lg5的平方比大小，那麼lg24/2就要和lg5比大小，自然想到把24放縮成25了，實在智力水平比較一般的同學應該也能想到轉化成比lg24和2lg5了，後面就顯然了，於是a<b

下面我們就比b和c，因為題目的條件

與b和c關係更密切，採用類似的處理

用前面的方法利用均值不等式發現方向出問題了，那麼就考慮看看題目條件怎麼用，因為要比的是對數，很自然地就對給的條件兩邊取對數，得到

根據我們的需要，馬上想到紅色框框的這兩個式子相乘一下就行了，因為都是正數，且兩邊可以約去20，就得到

於是，b<c。所以就比完了。

言歸正傳，下面拋磚引玉，請大家欣賞昌毅的研究——解法多樣，而且溯源出源於斐波那契數列的性質，足見功底深厚

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