你可能不知道隱藏在楊輝三角形中的 10 個秘密!
2020-12-03 遇見數學楊輝三角形，又稱帕斯卡三角形、賈憲三角形、海亞姆三角形，它的排列形如三角形。因為首現於南宋楊輝的《詳解九章算法》得名，而書中楊輝說明是引自賈憲的《釋鎖算書》，故又名賈憲三角形。古代波斯數學家歐瑪爾·海亞姆也描述過這個三角形。在歐洲，因為法國數學家布萊茲帕斯卡在1653年的《論算術三角》中首次完整論述了這個三角形，故也被稱作帕斯卡三角(Pascal's triangle)。
楊輝三角的前 10 行寫出來如下：
楊輝三角的構建
在最上面一行的中央寫下數字 1第二行，寫下兩個 1，和上一行形成三角形隨後的每一行，開頭和最後的數字都是 1，其他的每個數都是它左上方和右上方的數之和，就是說除每行最左側與最右側的數字以外，每個數字等於它的左上方與右上方兩個數字之和。
每個數是它左上和右上的數的和楊輝三角的美妙之處在於：它是如此足夠簡單，但本身在數學上卻擁有豐富的魅力。這是數學中的最令人稱奇的事物之一，隨便取諸多數學性質中的某個，就能表明它是多麼的精彩絕倫。
現在讓我們一起來探索藏在楊輝三角裡的 10 個你可能不知道的秘密吧！
秘密#1：隱藏數列
提示：為了有助於找到隱藏的信息，先將楊輝三角按左對齊方式排列。
前兩列倒沒什麼特別的地方，第一列均為 1，第二列則為自然數。而第三列就是三角形數(Triangular number)。你可以想到，三角數就是能夠組成大大小小等邊三角形的點的數目，如下圖所示。
類似地，第四列是四面體數(Tetrahedral number)，也叫三角錐體數。顧名思義，它們代表由三角形構成的四面體所需要的點的數目，四面體數每層為三角形數。
五層高的錐體共包含 35 個球體往後每一列都延續這一規律，這一規律描述了由三角形數/四面體數到高緯度「單純形」的拓展。下一列是 5-單純形數，接著是 6-單純形數，以此類推。
在幾何上，單純形是某一維度空間中構造最簡單的結構，0-單純形就是點，1-單純形就是一條線段，2-單純形就是三角形，3-單純形就是四面體，4-單純形就是五胞體。
秘密#2: 2 的冪
如果你把每一行相加會得到 2 為底的冪，始於 2=1
可以看到每一行的和都是以 2 為底的冪
秘密#3：11 的冪
楊輝三角還揭示了 11 為底的冪的值。你要做的就是將每一行的數字擠壓到一起。前 5 行足夠簡單，但出現兩位數的時候該怎麼辦呢？
事實證明，你要做的就是將十位數加到它左側數字上，比如下圖所示的是第六行中出現了上面的情況，如何進行移動以獲得 11 的值
如果出現了三位數同樣進位處理即可。
秘密#4: 完全平方數
我們可以通過將右邊的數與右下的數相加找到第二列中自然數的平方。 如：
2 → 1+3=43 → 3+64 → 6+10=16 等等秘密#5: 斐波那契數列
為了揭示隱藏的斐波那契數列，將左對齊的楊輝三角對角線相加。比如下圖楊輝三角中發現的斐波那契數列前九個數：1，1，2，3，5，8，13，21，34…
秘密#6: 謝爾賓斯基三角
放大楊輝三角，將所有的奇數用淺紅色標識出來，你看到了什麼？
是不是出現了著名的分形圖謝爾賓斯基三角了呢？
秘密 #7: 組合數學
或許楊輝三角中發現的最有趣的關係就是我們如何利用它找到組合數。
回憶一下從 n 個不同元素中選 k 個元素的組合公式。我們發現，對於楊輝三角中的每一行數字，從零開始計數，n 是行數，k 是在這一行中的位置。
所以，如果你想計算 4 選 2，看第 5 行，第 3 個數（因為我們從零開始計數），你會發現，答案是 6.
秘密 #8：二項式的展開
在數學上，二項式係數是二項式定理中各項的係數。而二項式係數可排列成楊輝三角，這樣可以避免這樣的麻煩，直接找到答案。
二項式相乘的標準方法 比如，我們來展開(x+y)。既然我們把(x+y)的冪提升到了 3，就用楊輝三角第四行的值作為展開項的係數。然後像下面描述的一樣填入 x 和 y 的表達式。
提示：每個單項式的次數和等於 (x+y) 被賦予的冪值。
秘密 #9: 二項式定理
(x+y)的冪運算是很酷，但我們多久才會需要解這樣的題呢？很有可能，不太經常需要。如果我們能夠從上一個章節的結論中總結出一個更有用的形式，會不會更方便？ 好吧，其實這就是二項式定理：
這個公式也稱二項式公式或二項恆等式。
更具體內容請見文章《利用楊輝三角形來解釋二項式定理》
秘密 #10: 與概率之間的聯繫 — 二項式分布
二項式分布描述了具有兩種可能結果的實驗的概率分布。事實上，楊輝三角的每一行也能揭示了這樣的清晰，以最經典就是扔一枚硬幣為例吧。
如果考慮拋 3 次硬幣，就會有 8 種可能發生的事件：
但其實可以分為 4 類情況：
3 次反面 —— 只有 1 次發生2 次正面和 1 次反面 —— 有 3 次發生2 次反面和 1 次正面 —— 有 3 次發生3 次正面 —— 只有 1 次發生這注意 1, 3, 3, 1 正是楊輝三角的第 4 行。同樣如果拋 5 次硬幣，出現 3 正 2 反 的事情會出現 10 次，這也是出現在了楊輝三角第 6 行。
如果設拋硬幣得到正面概率為 p，反面概率為 1–p。想知道扔到正面的可能性，我們可以使用二項式分布的概率質量函數（pmf）找到概率的分布， 其中 n 是試驗次數， k 是成功次數。
嗨，這看起很熟悉啊！這幾乎和我們前面提到的二項式定理是一樣的公式，只是沒有求和公式，同時 x 和 y 被 p 和 1-p 代替了。
假設成功的概率是0.5(p=0.5)，我們計算扔到正面0次、1次、2次、3次的概率。
在公式中代入 n=3、 k=0, 1, 2, 3 ，得到下面計算結果，請注意楊輝三角裡的組合數： 1, 3, 3, 1：
扔到正面 0 次、3 次的可能性都是12.5%，而扔到正面1次、2次的可能性都是37.5%，這與上面分析結果是一致的。
這便是看似簡單的楊輝三角裡的 10 個秘密，是不是很精彩啊！但這並不是終點，還有另外更有趣的性質隱藏其中，或許未來我們繼續前行，一道再探索吧。
本文作者：[遇見數學翻譯小組] 姚高華、李千蔚
相關焦點
-
楊輝三角隱藏的秘密
相關連結：楊輝三角隱藏的秘密楊輝三角，又稱賈憲三角形，帕斯卡三角形，是二項式係數在三角形中的一種幾何排列。它首先載於我國宋朝數學家楊輝於公元1261年所著的《詳解九章算法》一書。為什麼亦稱賈憲三角形呢？是因為楊輝在《詳解九章算法》一書中說這個方法是出於《釋鎮算書》，賈憲曾經用過，但《釋鎮算書》早已失傳.賈憲是北宋數學家(約公元十一世紀)，曾著《黃帝九章細草》和《算法學古集》，但均已失傳。賈憲應用「開方作法本源」(即楊輝三角形)比帕斯卡早600年。 -
利用楊輝三角形來解釋二項式定理
尤其在你邂逅美妙的楊輝三角時，就會更感受到的數學不可思議之處。但當第一次遇到它的時候，二形式定理中這些並不熟悉的數學符號可能會讓你望而生畏。看下面的整個公式，有求和 ∑ 符號，帶有階乘的組合公式，還有各種指數都在其中。 -
隱藏在「帕斯卡三角形」中的10大秘密——這就是數學的魔力!
你可能不知道的10個隱藏在帕斯卡的三角形裡的秘密。首先，如何建立帕斯卡三角形在紙的頂部中間寫上數字「1」。在下一行寫兩個1，形成一個三角形。在隨後的每一行中，以1開頭和結尾，並通過將其上的兩個數字相加來計算每個內部項。 -
你知道嗎?帕斯卡三角形包含著豐富的數學規律和奧秘
我們都知道帕斯卡三角形或楊輝三角，它是牛頓二項式的係數在三角形中的一種圖形化排列，它的每一個數都等於上方兩個數之和，如下圖所示：依次類推我們就得到所有的二項式係數在三角形中的排列但這個貌似簡單的帕斯卡三角形卻包含著豐富的數學原理和奧秘 -
數學之美:楊輝三角(帕斯卡三角)的奇特性質
楊輝三角（也稱帕斯卡三角）相信很多人都不陌生，它是一個無限對稱的數字金字塔，從頂部的單個1開始，下面一行中的每個數字都是上面兩個數字的和。楊輝三角，是二項式係數在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現。在歐洲，帕斯卡（1623—-1662）在1654年發現這一規律，所以這個表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的發現比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年。 -
楊輝三角
【基本知識】：楊輝三角，是二項式係數在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現。 -
中國古代數學瑰寶之楊輝三角潛能挖掘及拓展應用
楊輝，字謙光，漢族，錢塘(今杭州)人，南宋傑出的數學家和數學教育家，生平履歷不詳.由現存文獻可推知，楊輝擔任過南宋地方行政官員，為政清廉，足跡遍及蘇杭一帶，他署名的數學書共五種二十一卷.所著的《詳解九章算術》（1261年)一書中用如圖的三角形解釋二項和的乘方規律.楊輝三角，是二項式係數在三角形中的一種幾何排列。 -
探秘「楊輝三角」
在「畫布」上行走約40公裡的路程，他在冰天雪地中一步一個腳印用雙腳「畫」下巨作。為了抓緊時間完成更多的作品，西蒙不只是創作雪地畫，夏季沒有雪的時候他就去人跡罕見的海灘邊創作同樣精巧的沙灘畫。為了保證路線的準確性，西蒙要先在家畫出精巧嚴密的規劃圖，那麼圖片中的精美幾何圖案來自於哪裡呢？這就是本期我們要探秘的「楊輝三角」——「楊輝三角」是一種怎樣的「三角」呢？它是如何構成的？ -
奇特的楊輝三角(帕斯卡三角)有多麼奇特
楊輝，字謙光，南宋時期杭州人。在他1261年所著的《詳解九章算法》一書中，輯錄了如上所示的三角形數表，稱之為「開方作法本源」圖，並說明此表引自11世紀中葉（約公元1050年）賈憲的《釋鎖算術》，並繪畫了「古法七乘方圖」。故此，楊輝三角又被稱為「賈憲三角」。它是二項式係數在三角形中的一種幾何排列。 -
地球上被忽略的大氣層,其實隱藏太多的秘密,你知道幾個?
地球上被忽略的大氣層，其實隱藏太多的秘密，你知道幾個？地球上被忽略的大氣層，其實隱藏太多的秘密，你知道幾個？氧氣對每個生物的重要性不過氧氣含量也不能太高了，一旦處於富氧環境也會有生命危險，我們新鮮的空氣是因為大氣層不斷進化形成，但我們對大氣層的了解只停於表面，大氣層比我們想像中的重要多了。 -
10張精彩的視錯覺圖片,帶你領略人體的奧秘,洞悉不可能的存在
10張精彩的視錯覺圖片，帶你領略人體的奧秘，洞悉不可能的存在或許你總會相信眼睛所看到的的一切，但在某些特定情況下，眼見卻不一定為實，萬物沒有絕對性，下面讓我們一起來看看這些神奇的視錯覺圖片吧>圖中隱藏了一張人臉，不知道你們發現了嗎3、彎曲的直線 -
從楊輝三角說起,體驗乘法公式應用魅力,挑戰趣味難題
楊輝三角是一個由數字排列成的三角形數表，一般形式如圖所示，其中每一橫行都表示（a+b）^n（此處n=0，1，2，3，4，5，6）的展開式中的各項係數，楊輝三角最本質的特徵是：它的兩條斜邊都是由數字1組成的，其餘的數則是等於它「肩」上的兩個數之和。 -
特斯拉臨終前留下的一組數字,他說是通往宇宙的鑰匙,或隱藏宇宙秘密
尼古拉特斯拉在他的實驗室 特斯拉還研究過很多超越時代的東西，比如人造閃電、反重力裝置（飛碟）、定向能量武器（也就是雷射武器，據說造成了1908年通古斯大爆炸），由於特斯拉很多發明和理論都非常超前，超越那個時代人們的認知，因此他被認為是最接近「神」的人，因為只有最接近「神」的人才可能知道那麼多秘密 -
梵蒂岡秘密檔案館可能隱藏的十件事
耶穌存在/不存在的世俗歷史證明據稱，在梵蒂岡秘密檔案館的深處，有證據表明耶穌的存在，或缺少。據推測，在梵蒂岡的秘密檔案館中，羅馬的尼祿皇帝和以某種形式抄寫的門徒聖保羅之間有一段經記錄的談話。如果有證據表明耶穌不存在，難怪梵蒂岡會將其隱藏起來。但是，如果他們確實有耶穌存在的證據，那麼誰知道為什麼他們會將這些信息保密。無論如何，從理論上講，這種改變歷史的證據都被鎖定在梵蒂岡的秘密檔案中。計時錶由弗朗索瓦·布魯納神父在其2002年的計時書《新梵蒂岡神秘主義者》中描述是一種傳聞是由梵蒂岡創建和擁有的設備。 -
中國古代傑出的數學家和教育家楊輝 走進無限美妙的數學世界
楊輝在自己的《詳解九章算術》一書中，把賈憲的這張畫詳實地記錄了下來。後來人們發現，這個大三角形不僅可以用來開方和解方程，而且與組合、高階等差級數、內插法等數學知識都有密切關係。在西方，直到16世紀才有人在一本書的封面上繪出類似的圖形。法國數學家帕斯卡在1654年的論文中詳細地討論了這個圖形的性質，所以在西方人們稱之為「帕斯卡三角」。 -
英雄丹凍原的隱藏秘密區域在哪?凍原隱藏秘密區域位置分享[多圖]
英雄丹凍原的隱藏秘密區域在什麼地方？既然是隱藏局域，自然是不會公布給大家的，很多人都想要知道凍原的隱藏秘密區域的位置，為了滿足各位小夥伴的求知慾，小編為大家帶來了凍原的隱藏秘密區域的具體位置，大家看看吧。 -
笛卡爾坐標中隱藏的天大秘密!
天美近期新出了一款諸葛亮的史詩皮膚：黃金分割率，極致炫酷之中帶著濃濃的學霸氣息，讓玩家在邊學邊玩中享受遊戲的樂趣。一些老玩家看到這個皮膚，仿佛又回到了校園之中，回憶起那些年……小編發現笛卡爾坐標之中隱藏著天大的秘密，讓我們慢慢道來。 -
iPhone的神秘圓點, 面勺的洞, 番茄醬上的詭異數字…12個你不知道的驚天秘密!
最近，一個名為＃todayyearsold的話題討論席捲了各大社交媒體平臺，人們在這個話題標籤中分享和討論了許多生活中常見但是不容易被人發現的你知道在汽油倉油量指示錶盤中間帶有三角形的標誌是什麼意思嗎？主持人Amanda表示當她發現那個三角形的作用是來告訴人們，油泵在車的哪一側時，她感受到了震驚……網友們發現這個洞居然是為了讓使用者更好的確認義大利麵的分量。 -
三角形面積公式!你到底知道幾個?
你知道幾個呢？三角形面積公式！中，，則三角形面積為：第六種已知三角形兩邊及夾角，則三角形面積公式為：第七種已知：第八種已知三角形兩角及夾邊，則三角形面積公式為：第九種已知三角兩角及其中一邊的對邊的三個頂點坐標分別為 -
產品經理之「不可能三角形」定律
筆者通過數千字的盤點與分析後，得出一個結論——「三高」只能選其二，不可能三者兼得！產品經理在網際網路圈是個月經話題，隔一段時間就會熱鬧一陣子。產品經理是幹啥的？高P需要什麼能力？產品經理職業發展空間大不大？這個非著名的產品經理三連問反覆出沒在各種煲湯文、洗腦培訓和知識付費課程中。