自相關和互相關函數計算方法總結及心得體會

這個是信號分析裡的概念，他們分別表示的是兩個時間序列之間和同一個時間序列在任意兩個不同時刻的取值之間的相關程度，即互相關函數是描述隨機信號x(t),y(t)在任意兩個不同時刻t1，t2的取值之間的相關程度，自相關函數是描述隨機信號x(t)在任意兩個不同時刻t1，t2的取值之間的相關程度。

[轉版友hustyoung]

自相關函數是描述隨機信號X(t)在任意兩個不同時刻t1，t2的取值之間的相關程度;互相關函數給出了在頻域內兩個信號是否相關的一個判斷指標，把兩測點之間信號的互譜與各自的自譜聯繫了起來。它能用來確定輸出信號有多大程度來自輸入信號，對修正測量中接入噪聲源而產生的誤差非常有效。

事實上，在圖象處理中，自相關和互相關函數的定義如下：設原函數是f(t)，則自相關函數定義為R(u)=f(t)*f(-t)，其中*表示卷積；設兩個函數分別是f(t)和g(t)，則互相關函數定義為R(u)=f(t)*g(-t)，它反映的是兩個函數在不同的相對位置上互相匹配的程度。

那麼，如何在matlab中實現這兩個相關並用圖像顯示出來呢？這個問題版友happy給出了完整答案：

[轉版友happy]

dt=.1;

t=[0:dt:100];

x=cos(t);

[a,b]=xcorr(x,'unbiased');

plot(b*dt,a)

上面代碼是求自相關函數並作圖，對於互相關函數，稍微修改一下就可以了，即把[a,b]=xcorr(x,'unbiased')改為[a,b]=xcorr(x,y,'unbiased')便可。

在Matalb中，求解xcorr的過程事實上是利用Fourier變換中的卷積定理進行的，即R(u)=ifft(fft(f)×fft(g))，其中×表示乘法，註：此公式僅表示形式計算，並非實際計算所用的公式。當然也可以直接採用卷積進行計算，但是結果會與xcorr的不同。事實上，兩者既然有定理保證，那麼結果一定是相同的，只是沒有用對公式而已。下面是檢驗兩者結果相同的代碼：

dt=.1;

t=[0:dt:100];

x=3*sin(t);

y=cos(3*t);

subplot(3,1,1);

plot(t,x);

subplot(3,1,2);

plot(t,y);

[a,b]=xcorr(x,y);

subplot(3,1,3);

plot(b*dt,a);

yy=cos(3*fliplr(t)); % or use: yy=fliplr(y);

z=conv(x,yy);

pause;

subplot(3,1,3);

plot(b*dt,z,'r');

即在xcorr中不使用scaling。

[轉版友gghhjj]

相關係數只是一個比率，不是等單位量度，無什麼單位名稱，也不是相關的百分數，一般取小數點後兩位來表示。

相關係數的正負號只表示相關的方向，絕對值表示相關的程度。因為不是等單位的度量，因而不能說相關係數0.7是0.35兩倍，只能說相關係數為0.7的二列變量相關程度比相關係數為0.35的二列變量相關程度更為密切和更高。也不能說相關係數從0.70到0.80與相關係數從0.30到0.40增加的程度一樣大。

對於相關係數的大小所表示的意義目前在統計學界尚不一致，但通常按下是這樣認為的：

相關係數 相關程度

0.00-±0.30 微相關

±0.30-±0.50 實相關

±0.50-±0.80 顯著相關

±0.80-±1.00 高度相關

2) 功率，能量，自相關函數的關係：

[轉版友happy]

參見http://eelab.whu.edu.cn/jingpinke/xhst/final/XiTongJiaoCai/chap6/chap6_3/chap6_3_3.htm

3) 與matlab中corrcoef函數的關係：

以兩個不同信號(序列)為例，xcorr函數是通過不反折的卷積來衡量這兩個信號在不同位置的相似程度。假設兩個序列的長度分別是m和n，則得到的是一個長度為2*max(m,n)-1的序列，也就是說，當m和n不相等的時候，在執行xcorr的時候會先對短的那個序列進行0擴充，使得m與n相等。

而corrcoef函數是通過協方差矩陣來衡量這兩個信號在不同局部的相似程度，計算公式是：C(1,2)/SQRT(C(1,1)*C(2,2))，其中C表示矩陣[f,g]的協方差矩陣，假設f和g都是列向量(這兩個序列的長度必須一樣才能參與運算)，則得到的(我們感興趣的部分)是一個數。

以默認的A=corrcoef(f,g)為例，輸出A是一個二維矩陣(對角元恆為1)，我們感興趣的f和g的相關係數就存放在A(1,2)=A(2,1)上，其值在[-1,1]之間，1表示最大的正相關(例如x=[1;2;3], y=[5;7;9])，-1表示絕對值最大的負相關(例如x=[1;2;3], y=[12;7;2])。對於一般的矩陣X，執行A=corrcoef(X)後，A中每個值的所在行a和列b，反應的是原矩陣X中相應的第a個列向量和第b個列向量的相似程度(即相關係數)。

4)互相關函數圖像的橫坐標問題

參見http://forum.vibunion.com/thread-39455-1-1.html

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