說說自相關函數,功率譜與白噪聲

所以，當知道一個信號的傅立葉變換時，也可以直接求出該信號的功率譜。

至於維納辛欽定理是怎麼來的。知道當然 是好的，但是不知道也不要緊。重要的是理解功率譜的意義，並且會使用維納辛欽定理計算功率譜。

那麼功率譜有什麼用呢？

每個信號f(t)只有唯一的功率譜，雖然反過來未必成立。但功率譜是信號的一種屬性。有這種屬性，再加上別的一些屬性，就可以用於區分信號了。比如在圖像處理裡，將圖像函數看做一個信號函數，對圖像某一區塊其進行上述標準化互相關函數中講到的亮度和對比度不變性處理後，進行傅立葉變換，並最後算出圖像功率譜，於是就有了一個很好的以頻率表達的可用於模板匹配的模板屬性。這就是圖像處理中所說的，把對圖像處理的時空域內思考，轉化到頻域。可以使一些在時空域較難處理的問題，在頻域裡找到直觀簡便的解決方案。

有了功率譜的概念，就可以談談白噪音（White noise）了。

白噪聲或白噪聲，是一種功率譜密度為常數的隨機信號或隨機過程。功率譜密度為常數，也就是說，信號在各個頻率上的能量相同。由於白光是不同頻率的各色光混雜而成，所以同樣在不同頻率下具有想等能量的噪音被稱為「白」的。

但是功率譜密度為常數又說明了什麼呢？

如上所述，功率譜可由自相關函數的傅立葉變換得到。繼續如上所述，自相關函數可以反映一個函數的周期性。那麼自相關函數經傅立葉變換後的功率譜也一樣。而且，周期和頻率原本就是一回事。如果某函數的頻率譜在某個頻率下取得很大的值，那麼說明此函數具有一定的周期性。而對於白噪聲而言，頻率譜在所有頻率下取值相同，就是說能量和頻率沒有關係，也就是說，能量和周期沒有關係。所以白噪聲不具有周期性。

既然自相關函數已經可以表達這個意思了，為什麼還要再傅立葉變換一下，來表達同一個意思。這不是脫了。。。（這裡省略四個字）。。。，多加一道手續嗎？事實上，從上面維納-辛欽定理可以看出，信號的頻率譜可以直接由信號的傅立葉變換得到，而快速傅立葉變換（FFT）能提供一個高效的計算手段。這往往比計算自相關函數要更高效和直接。

好，繼續說白噪聲。如果白噪聲描述的是時間信號，那不具有周期性就是說，信號強度和時間不相關。回憶卡爾曼濾波（Kalman Filter）的三個應用假設：

1.系統是線性的。

2.系統狀態噪音是白噪音

3.系統狀態噪音是高斯形式。

卡爾曼濾波中狀態變量的後驗概率可以表示如下：

（from sk)

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