波函數與Schrdinger方程
1.1複習筆記
本章介紹了量子力學中最基本的波函數概念和表達形式，並且介紹了波函數的統計詮釋和量子態的疊加原理，相應的引入描述量子態動力學過程的薛丁格方程，相比較於經典物理中的牛頓定律，在量子力學中，非相對論情況下的薛丁格方程同樣佔據了重要地位，對於有限幾種可解模型，包括勢阱、勢壘和線性諧振子，以及氫原子情形，薛丁格方程可以求解出波函數和能級的具體形式，其結果可以完美解釋物理實驗中相關現象和數據，而對於不可精確求出解析解的模型，針對具體不同的模型，在物理背景的考慮下可以進行相應的近似處理，由薛丁格方程得出的近似解也可以比較滿意地對實驗現象和結果做出解釋，後面的章節圍繞理論部分會對近似求解詳細闡述，在高等量子力學中，將會介紹相對論情形下的狄拉克方程。
一、波函數的統計詮釋
1實物粒子的波動性
de Broglie（1923）提出了實物粒子（靜質量m≠0的粒子，如電子）也具有波粒二象性（wave-particle duality）的假設，即與動量為p和能量為E的粒子相應的波的波長λ和頻率ν為
λ＝h/p，ν＝E/h
並稱之為物質波（matter wave）。
2概率波，多粒子體系的波函數
Born提出的波函數的概率詮釋：|ψ（r→）|2ΔxΔyΔz表徵在r點處的體積元ΔxΔyΔz中找到粒子的概率，根據波函數的統計詮釋，要求波函數ψ（r）滿足下列條件
這稱為波函數的歸一化（normalization）條件。
歸一化條件就可以簡單表示為
（ψ，ψ）＝1
3動量分布概率（三維情況下）
動量分布概率密度即|φ（p）|2。
4不確定性原理與不確定度關係
位置（坐標）和動量的不確定性關係
上式表明粒子處於任何量子態下，它的位置（坐標）和動量不能同時具有完全確定的值，x和p是一對對偶量，同理，能量E和時間t也具有相同的關係式。
5力學量的平均值與算符的引進
p∧為動量算符，在坐標表象中其具體表達形式為
l→＝r→×p∧（角動量算符）
l是一個矢量算符，它的三個分量可以表示為
A∧是與力學量A相應的算符，其平均值為
如波函數未歸一化，則
與經典Hamilton量H＝T＋V相應的算符表示為
其中，T為粒子的動能，V為粒子在勢場中的勢能。
6統計詮釋對波函數提出的要求
根據統計詮釋，對波函數ψ（r）的要求為
（1）|ψ（r）|2取有限值，即要求ψ（r）取有限值。
（2）波函數需要滿足歸一化條件（平方可積）
但概率描述中實質的問題是相對概率，因此，在量子力學中並不排除使用某些不能歸一化的理想的波函數，比如平面波。
（3）|ψ（r）|2單值，但ψ（r）不一定取單值。
（4）波函數ψ（r）及其各階微商的連續性（一般情形可以這樣考慮，但遇到特殊情況要視具體的勢能而定）。
7索末菲量子化條件的推廣
8波粒二象性（見表1-1-1）
表1-1-1波粒二象性相關概念
華南理工大學量子力學考研真題
2015年華南理工大學630量子力學考研真題
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