裡包含了所有可能的數字組合嗎?

2021-01-08 騰訊網

在《疑犯追蹤》S02E11裡，「宅總」哈羅德·芬奇說了這樣一段話：

「π，圓周長與其直徑之比，這是開始。後面一直有，無窮無盡。永不重複。就是說在這串數字中，包含每種可能的組合。你的生日，儲物櫃密碼，你的社保號碼，都在其中某處。如果把這些數字轉換為字母，就能得到所有的單詞，無數種組合。你嬰兒時發出的第一個音節，你心上人的名字，你一輩子從始至終的故事，我們做過或說過的每件事，宇宙中所有無限的可能，都在這個簡單的圓中。用這些信息做什麼，它有什麼用，取決於你們。」

很多觀眾看到這一段之後十分感動，還有人感慨：為什麼我們的數學老師沒有這麼教我們呢？

之所以我們的老師不講，是因為這段話在數學上是不對的。

無理

宅總的前兩句話正確地描述了π的一個屬性：無窮無盡且永不重複——換句話說，π是個「無限不循環小數」，也就是「無理數」。

但是，一個無理數並不一定能包含「每種可能的數字組合」。

舉個簡單的反例：0.909009000900009000009……

（除非特別聲明，所有數字都是10進位的，下同。）

這個數的特點是，兩個「9」之間的距離會越來越長，每次多一個0，直到無限。它是無窮無盡的，也是不循環的，因此是無理的；但別說「每種可能的數字組合」了，它連0到9這十個數字都湊不齊呢！

合取

包含所有數字組合的數，叫做「合取數」。無理數並不都是合取數。

一個典型的合取數是這樣的：0.10200300040000500000600……000110000000000012000……

在越來越長的0串中間，夾雜著從1開始的所有自然數，直到無限。既然包含了所有自然數，當然也就包含了所有的數字組合。

正規

但是寫這麼多0，多費紙費電啊。如果把這些零去掉呢？

得到的數就是這樣：0.123456789101112131415……

這個數不但是合取的，還是「正規」的——從0到9的每一個數字，出現的頻率都趨向於一樣的值。

隨機

如果我們再進一步，連生成規律都不要了，而是用某種真隨機生成器（比如哥本哈根解釋下的量子隨機性）造出一個每位都隨機的數，那麼它當然就是「隨機」的了——不光每一個數字的長期頻率趨於一致，任何位置出現的概率也都一樣。

那pi是什麼？

非常遺憾的是，目前為止我們只證明了pi是個無理數。pi是合取（包含所有可能）的嗎？是正規（所有數字出現頻率趨於一致）的嗎？是隨機（每一位上的數字都隨機）的嗎？

答案是：全都不知道。

我們很容易構造出一個合取數或者正規數，甚至能證明「幾乎所有」實數都是合取而且正規的，但是隨便拿一個具體的數字，要想判斷它是否合取、是否正規，卻極其困難。我們甚至都不知道pi裡面是不是有無限個數字2。至於隨機？別跟我提什麼隨機。

合取數和正規數有另一個有趣的性質：和進位有關。有個常數叫斯通漢姆數（Stoneham number），在二進位、四進位、八進位……下已經證明全都是正規的了，可是在六進位下卻能證明它不是正規的。如果一個數在任何進位下都正規，可以稱之為「絕對正規」。不幸的是，pi在任何進位下都沒能證明正規——離得最近的是2，有論文證明，假如某個猜想是對的，那麼pi就是二進位正規；但那個猜想本身也只是「很可能正確」，還沒有得到嚴格證明。

當然，我們都已經計算出pi的幾百億位了，可以看看它們的分布來猜規律；也可以通過一些其他數學方法拐彎抹角地試圖推斷。從已知事實來看，pi和正規性吻合得非常之好，換做任何別的人文、社科、自然科學，都可以當做定論來用了，因此幾乎所有人都「覺得」它該是正規的。可惜，這是數學，數學是靠證明說話的，只要拿不出證明，數學家就不能安心睡好覺。

平面上的一個隨機行走路線，每一步隨機選擇上下左右四個方向之一。本組行走路線圖片來自David H. Bailey and Jonathan Borwein，下同。

用四進位pi前1000億位生成的行走路線，0123分別對應上下左右。看起來和隨機的很像。但只是看起來。

用四進位詹帕諾尼常數（Champernowne's number）生成的行走路線。這個常數是正規的，但顯然一點兒都不隨機。

四進位斯通漢姆數生成的行走路線。它是正規的，看起來也很隨機。

三進位斯通漢姆數生成的行走路線。我們不知道它是否正規，但至少看起來和隨機很像。

六進位斯通漢姆數生成的行走路線。它不正規，所以……也完全不 隨機。就是這麼一條兒。

為什麼要在乎這些細節呢？

這篇文章不是為了批評《疑犯追蹤》這部劇，事實上看到這一幕的時候我還非常高興：影視劇裡到處都是壞掉的理化生，而壞掉的人文社科乾脆就是某些作品的主幹——但現在終於出現了（哪怕是壞掉的）數學了！數學至少有了存在感！

但是這文章又必須要寫，因為編劇在寫這個段子的時候違反了基本的數學精神。其一，數學靠證明說話，哪怕pi距離「包含所有可能序列」離得再近，哪怕每一個人試過的每一個數字序列都能在它裡面找到，在得到證明之前你也不能這麼說；其二，數學是一個嚴密的邏輯體系，就算pi真的包含了所有可能性，你也不能說「因為它是無理數所以它是合取數」，這個推論本身的邏輯是錯的。哪怕結果蒙對了，也不能為此放過錯誤的過程，否則整個數學體系就無法存在。

目前看來，pi「應該」是正規和合取的。如果讓我打賭，我當然押「包含所有序列」一邊；如果我在現實生活中用到了pi，我也會把它當做合取數和正規數那樣用。甚至可以說，我「相信」pi是正規的：如果有人告訴我它不正規，我第一反應肯定是不接受；如果計算發現pi從第一萬億位開始變成了9090090009……，我沒準都會開始懷疑宇宙的真實性——但是，只要沒有出現證明，我就不能言之鑿鑿對你說：「pi裡面包含了所有可能的數字組合」，更不能用似是而非的推論來支持這個說法。經驗、審美甚至信仰，在數學裡，都敵不過薄薄的一紙證明。

其實死理性派也有情懷，只不過往往用在了奇怪的地方。

P.S. 下面是一些和pi相關的網頁：

WolframAlpha整理了一些關於pi的有（wu）趣（liao）小知識。https://mathworld.wolfram.com/Pi.html

這個網頁上列舉了pi的前100萬位http://www.piday.org/million/

基於pi「很可能有」的合取性，有人半開玩笑地設計了一套文件系統「πfs」，你的所有的數據都（很可能）存在pi的某一個地方，只要找到那個地方就好了。https://github.com/philipl/pifs

題圖來源：Pixabay

參考文獻：

David H. Bailey and Jonathan Borwein. Pi Day Is Upon Us Again and We Still Do Not Know if Pi Is Normal. American Mathematical Monthly, Mar 2014

文章來源：本文經授權轉載自公眾號「果殼」，轉載請聯繫原帳號。

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