為了照顧不同程度的學生，有人發明了「分層教學」一詞，據說可以在一個班裡施行。我帶過的一位碩士生說他們學校就採用了分層教學，據她說效果不錯。我當時很好奇，很想去見識一下，如何在一個班的一堂課上使用分層教學，遺憾的是雜事太多，始終未能如願。
在那次學生開題報告會上，我跟學生提出了「課堂彈性」一詞，所謂課堂彈性指的是一節課有一個面向所有同學的最低要求，但同時又有面向基礎較好學生的較高要求。關鍵在如何實施。
這學期自告奮勇承擔了一年級新生的「數學分析」課程，也許是長期疫情的影響，學生很久沒進課堂的緣故，同學們課堂上挺活躍。雖然各自的基礎看上去有些差異，但在我鼓勵下，大家都很積極思考，不僅課堂上隨時打斷我提問，甚至寫錯一個字、一個數字也給指了出來，而且幾乎每次課後都不能及時走人，總有些同學圍著問。這是我最近若干年難得見到的景象，很為他們好學的精神高興！但願他們這種好學好問的勁頭能保持到畢業，別像我往年教的高年級同學那樣，無論我怎麼「撩撥」，就是不理我。果真一如既往如此好問的話，必有部分學生學有所成。
我講課歷來喜歡信馬由韁，在不知不覺中探知學生的基礎，有時講的難度高於教材，有時也會完全按照教材來。難能可貴的是，無論我怎麼講，也無論學生當時能否聽懂，但課堂氛圍一直很好，是我希望的景象。我在保證基本要求的前提下也時常會適當拓展一下，這種拓展可能是科普式的，也可能是很具技巧性的。例如，我在介紹了中值定理後，給學生介紹了一道奧林匹克題，這道題對於霍爾得不等式的證明是很重要的，但它又是很初等的：
設a,b是正數，\alpha,\beta是非負數，並且\alpha+\beta=1,試證明
a^{\alpha}·b^{\beta}<=\alpha•a+\beta•b
中學老師們會證嗎？😄
如果用中值定理，這道題的證明輕而易舉。
在介紹導函數的達布定理時，我從處處可導的函數其導函數可不可能間斷開始，這個反例教材中是沒有的，我通過前期介紹過的類似xsin(1/x)的函數入手，引導學生去構造反例，然後拋出這樣的問題：閉區間上的連續函數其函數值一定充滿一個區間，這是介質定理保證的，既然導函數有可能間斷，其導數值會不會留有空隙？由此展開分析，最後得到達布定理。我並沒有就此罷手，給學生布置了一道題：如果導函數是單調的，證明導函數連續。果然有學生感到困難，我在講這道題時建議有興趣的學生思考：處處可導函數的導函數可以有多少間斷點？間斷點是什麼類型的？這問題已經有相當的深度了！
這就是課堂的彈性！
Long-press QR code to transfer me a reward
As required by Apple's new policy, the Reward feature has been disabled on Weixin for iOS. You can still reward an Official Account by transferring money via QR code.