什麼是體積彈性模量,什麼情況下它非常重要?

如果位置，響應時間和穩定性在系統中至關重要，則設計人員應考慮液壓油的體積模量。

大多數人會同意，液壓控制系統的性能要求越來越嚴格。設計人員經常忽略的流體的功能特性之一就是其可壓縮性，或者通常稱其為體積模量。已經進行了許多實驗室測試來測量各種流體的體積彈性模量，因為它會影響系統的性能。

什麼是體積彈性模量

圖 1. 流體容積隨壓力增加而減小

割線體積模量也稱為「平均」彈性模量，切線體積模量也稱為真實模量

當受到均勻的外部壓力時，大多數物質的體積會減少。體積與壓力的典型關係圖如圖1所示。曲線表明

V = f (P,V0, k)

此處: k = 壓縮性(通常負值), in.2/lb
P = 壓力, psi
V0 =初始容積, in.3

術語「體積彈性模量」通常表示可壓縮性的倒數，並且定義了圖1中曲線的斜率。陡峭的斜率表示硬的，僅可輕微壓縮的流體-一種具有高體積彈性模量的流體。平的坡度表示一種相當可壓縮的流體-一種體積模量低的流體。

定義體積彈性模量

因為圖1中的圖不是直線，所以斜率在點與點之間變化。定義斜率或體積彈性模量有兩種常用方法：

• 某一點的真實或切線體積彈性模量。在特定點放置與曲線相切的直線邊緣會產生切線體積模量。它寫為（作為派生詞）：

Br = dPV/dV.

• 平均或正割體積彈性模量是曲線的任意兩個點之間的直線的斜率。那是：

Bs = (P2 – P1)V0/(V1-V2), or Bs = ∆PV0/∆V.

由於在任意兩點之間繪製的線顯示為弧線的和弦，因此它是割線，因此名稱為割線體積彈性模量。

在給出流體體積彈性模量的一些典型值之前，我們必須考慮另一個變量：溫度。

溫度與體積彈性模量

溫度很重要，因為當流體被壓縮時，其溫度會升高。隨著溫度升高，流體趨於膨脹，進而產生附加壓力。

有兩種考慮溫度的方法：

• 非常緩慢地壓縮流體，以便散發產生的熱量。這稱為等溫（恆溫）體積彈性模量。

Brayco 745液壓油在3000 psi下的體積彈性模量隨溫度和空氣含量的變化而變化

• 快速壓縮流體並測量壓力，即使它是由於壓縮和熱膨脹產生的。這稱為絕熱體積彈性模量。後者描述了大多數液壓應用。因此，本文討論的大多數體積彈性模量都是絕熱的。表1列出了各種流體的一些典型值。

在將表2中的高溫和室溫下的體積模量值進行比較之後，很容易看出保持流體溫度儘可能低的重要性。

預測氣液混合物的體積彈性模量

表2中的值是幾種氣油混合物的有效體積彈性模量。這些通過測試確定，如下所述。使用這些測試結果，開發了一個方便的經驗公式來預測（沒有測試）其他空氣-空氣混合物的有效體積模量：

1/Be = 1/B + Va / (Vt × Ba)

此處: 

Be 有效體積彈性模量
B   流體體積彈性模量
Va  空氣體積
Vt  空氣-流體混合（氣液混合物）體積
Ba 空氣體積彈性模量

將帶有管螺紋孔的厚壁不鏽鋼焊接鋼瓶連接到具有小面積尼龍閥座的長接合針形閥，如圖2所示。用手動泵對鋼瓶加壓。然後使加壓流體迅速膨脹到精密玻璃壓力計管中。壓力計測量了對油缸加壓所需的流體量。

在加壓的同時，對油缸進行測量以確定其在各種壓力下的徑向和縱向變形。然後使用材料強度方程式（Timoshenko's）確定內部撓度，從而獲得體積皮重值-從相應的壓力計讀數中減去該皮重值。測量了夾帶或夾帶空氣為0.125％至1.57％的氣油混合物。另外，測量了沒有夾帶或夾帶空氣的流體。氣油混合物的溶解空氣含量（對體積模量值沒有影響）保持在2％以下。

空氣對體積彈性模量的作用

在使用已發布的體積模量值之前，設計人員應謹慎行事。通常，這些值是通過實驗室方法確定的，該方法採取特殊的預防措施，在將流體截留和壓縮之前對其進行脫氣。

圖2.厚壁不鏽鋼測試筒用於精確測量體積模量。油缸容積為9.45立方英寸。

為了說明可能發生的變化，我們在一個厚壁的不鏽鋼圓筒中測量了絕熱體積變化與壓力的關係，圖2，使用了脫氣和充氣的流體。圖3說明了產生的曲線。它們表明，滯留的空氣量將使曲線偏移大約等於當前空氣量的值。

圖3. 流體中夾帶的空氣（0.74和0.148立方英寸）降低了流體的體積模量。

如可以直觀地推斷出的那樣，曲線的直線部分直到流體中夾帶的空氣量被壓縮才開始。壓縮空氣後，所有曲線的斜率都相同。如果從0 psig測量，則可以看出，隨著空氣含量的變化，絕熱（正割）體積模量值將有很大差異。從表2中的絕熱本體模塊的值中可以看出這一點。（對觀察到的測試值進行了調整，以適應因圓柱體膨脹而產生的不同體積，然後計算出本體模量的值。）

泵和執行器的體積損失

圖4.體積模量值較高的流體的體積減小較少

泵的輸出或主從執行器的位置關係隨所用流體的體積模量而變化。圖4示出了體積損失百分數與壓力和體積模量的關係。對於泵，輸出中的百分比體積損失被視為馬力損失。對於主從執行器，體積損失被視為從屬衝程的損失。

準備圖4時使用的公式是：∆V/V0 × 100% = 100 × P/ B

停止移動負載

圖5.由於流體可壓縮性而吸收（浪費）的功。陰影面積乘以活塞面積等於吸收的功。

如果油缸以均勻的速度移動負載（至油缸的流量恆定），則當閥流突然關閉時，負載具有必須由流體和系統吸收的動量。如果閥位於下遊，則隨著能量的吸收，流體壓力將從標稱值上升到某個峰值壓力，圖5。假設剛性缸體和管路以及壓力線性上升，則流體的體積模量將確定峰值壓力。曲線下的面積乘以活塞面積即表示功：

W = F × S
W = ½ ( P × A) × ∆s

完成的功（吸收的能量）等於移動負載的動能EK，即：

W = EK = (½ W/g) × v2

圖6體積模量值較高的流體吸收的能量較少，活塞的過衝量也較小（定位精度更高）

此處 

W = 做功
F = 作用在負載上的力
s = 移動距離
EK =動能
g = 重力加速度，恆值

把功的單位從英寸轉化到英尺：
功 (ft-lb) = 1/24 P (psi) × A× ∆s

因為A × ∆s = ∆V = ∆P × V0/B,  則EK = (∆P)2 × V0 /24B.
此處V0 = 執行器與管道所困的容積.

圖6顯示了各種體積彈性模量下每立方英寸流體的峰值壓力與能量（ft-lb）的關係。可以看出，對於特定的最大壓力，流體越硬，吸收的能量越少，超調量也越小。致動器體積的增加會增加其能量吸收和過衝。

快速的負載逆轉

由於大多數流體都是可壓縮的，因此在油缸的活塞移動負載之前，必須先對執行器中的流體進行壓縮。換句話說，在執行任何有用功之前，必須將等於壓縮體積的流體量添加到執行器中。由於此過程無法完成有用功，因此會浪費掉無用功。

圖7. 對於1立方英寸的油缸容積在3000pis壓力下的功率損失

WL = F × s = ∆P+ × AP × si = ∆P × A ×∆s

此處: 

∆P+ = 壓力上升
AP = 柱塞面積
si = 位移增加值

因此: WL = ∆P × ∆V

但是∆V = ∆P × V0/B, so因此: WL= ∆P2 × B × V0

t:除以時間t獲得損失的功率
WL = ∆P2 × V0 /(B × t × 6600)

由於功率在較高的壓力範圍內變得很重要，因此讓我們檢查一個典型的3000 psi系統，即∆P = 3000 psi。

PL = 1363 V0/(B × t)
此處: PL= 損失的馬力, hp

圖8. 1平方英寸的活塞面積和10英寸的行程在3000 psi時的功率損耗。在短時間間隔內

圖7顯示了執行器體積為1立方英寸容積，在各種體積彈性模量時的功率損耗與時間的關係圖。功率損耗隨執行器尺寸的增加而增加，響應時間減少。圖8說明了各種體積彈性模量的損耗功率與響應速率的關係。

在我們考慮平均執行器之前，功率損耗可能看起來相對較小。如果我們假設其體積模量為200,000psi，響應速度為100Hz，行程為10英寸，則每平方英寸撞錘面積的損失為6.75hp。圖9將功率損耗與可用的總系統功率相關聯。例如，一個可以提供6.75hp功率的3000psi，3.8gpm的系統無法使用1平方英寸的推桿移動100Hz的負載，因為所有功率都將用於壓縮流體。

液壓系統的共振

彈簧-質量組合的固有頻率為：

f = (1/2π) (kg/W)1/2

此處: f  = 功率, Hz
W = 重量, lb
k = 彈簧剛度,lb/in.

要將其等同於液壓系統，我們只需要用彈性模量代替體積模量即可。因此，低模量也降低了系統的固有頻率。例如，如果1％的空氣含量將流體的體積模量改變了50％，則其固有頻率將降低30％。這大大降低了系統的穩定性。

為什麼體積彈性模量很重要

圖9.以100 Hz驅動系統（移動執行器）所需的最小功率

從前面的討論中，應該清楚的是，流體的體積模量的絕對值會嚴重影響與位置，功率水平，響應時間和穩定性有關的系統性能。

 

控制體積模量的兩個主要因素是流體溫度和夾帶空氣含量。例如，表2顯示，僅將Brayco 745液壓油的溫度升高100°F便會將其體積模量降低至其室溫值的61％。表2還表明，按體積計引入1％的空氣會將體積模量降低至其室溫值的55％。如果這兩個條件同時發生，則淨效果將使體積模量降低67％。

 

總而言之，鑑於當今對增加功率和響應時間的要求，因此，設計人員應該比以往更多地關注體積模量。

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