彈性模量的物理學本質

2020-11-25 騰訊網

從宏觀上講，彈性模量表徵了材料在一定的應力作用下發生彈性變形的難以程度，彈性模量越大發生變形越難。從原子間相互作用力角度來看，彈性模量則表徵了原子間結合力強弱的程度，彈性模量越大，意味著原子間結合力也越大。

如由分子組成的材料，原子先通過分子內結合力（如離子鍵、共價鍵）組成分子，分子再通過分子間結合力（如極性共價鍵）組合成物質。通常情況下，分子間的結合力要比分子內結合力小的多。材料在發生彈性變形時，可認為是分子間距被拉大/壓縮，分子間結合力隨之改變所產生的結果。

圖1 分子內和分子間作用力 來源：網絡

對於金屬原子，由於其最外層因與原子核的結合力較弱，很容易脫離原子核的束縛而變成自由電子。當一群金屬原子聚集時，所有金屬原子的最外層電子、甚至是次外層電子都有可能脫離原子核的束縛，變成自由電子，這些電子為所有的原子所共有，形成電子云。失去電子的原子變成離子，而離子就沉浸在電子云中。金屬離子與公有化電子的靜電作用結合而成金屬鍵，形成金屬材料。

圖2金屬材料微觀結構示意圖來源：網絡

從微觀粒子的結合強度來看，金屬鍵等價於分子內作用力，其結合強度要遠高於分子間結合力（如極性共價鍵），因此金屬材料（如鋼）相比於分子材料（如塑料）更難以發生彈性變形。

我們可通過圖3所示為雙原子受力模型來理解原子間的結合力。當雙原子被壓縮時，原子之間將產生抵抗壓縮的排斥力，雙原子被拉伸時，將產生抵抗拉伸的吸引力。一般認為，原子間的引力是正離子（失去電子的原子核）和自由電子之間的庫倫引力產生的，斥力是由正離子和正離子、電子和電子之間的斥力產生的。

圖3雙原子模型[1]

畫出引力、斥力示意圖，如圖4所示，其中N1和N2表示兩個原子，r表示它們的間距，其中曲線1表示引力隨兩者間距的變化規律，曲線2表示斥力的變化規律，曲線3表示引力和斥力的合力變化規律（疊加曲線1和2）；作用能圖給出了兩原子形成的作用能（勢能）隨原子間距的變化規律。可見，當雙原子處於平衡位置時，勢能最低，兩原子最穩定，當原子被拉開或壓縮時，能量增加，一旦撤去外力，原子就要回到能量最小的平衡狀態，這一過程就是彈性變形的過程，又是最小作用量原理的一個例子。

圖4原子間引力、斥力，及作用能示意圖[1]

由於彈性模量是原子間結合力的反映，影響原子間結合力的因素都會影響彈性模量。例如，熔點與原子間結合力有關，熔點高意味著原子間結合力強，所以一般情況下熔點高的材料彈性模量也越大；另外，環境溫度升高，會增大原子間距，從而導致結合力變弱。因此高溫下，彈性模量也會降低，如燒紅的鐵更容易被鍛造。

人們還發現彈性模量還隨原子序數呈周期變化，同一周期元素，如Na，Mg，Al，Si等，彈性模量隨原子序數增大而增大，這與元素價電子增多及原子半徑減小有關。同族元素，如Be，Mg，Ca，Sr，Ba等，彈性模量隨原子序數增大而減小，這與原子半徑增大有關。但對於過渡金屬來說，由於它們的d層電子未被填滿而使得原子間結合力增大，致使如Fe，Ni，Mo，Mn等金屬的彈性模量都很大。

圖5彈性模量隨原子序數的周期性變化[1]

此外，還有一些其它與材料性能相關現象。例如人們觀察到鐵磁性材料在磁飽和狀態下比未磁化狀態下的彈性模量要高，這一現象稱為彈性的鐵磁性反常，是由磁致伸縮引起的。另外，人們也觀察到Nb-Ti合金材料在超導轉變狀態時也伴隨著彈性模量的突變，但其發生機理還需要進一步研究。

上世紀20年代（1920s）開始，人們藉助於經典力學的基本原理，通過經驗和半經驗參數來計算分子結構和能量，稱為分子力學（也稱力場方法）。分子力學將分子或原子看作是由一組靠彈性力（或諧振力）維繫在一起的集合，以鍵長（相當於原子間距）和鍵角（三個原子組成的角度）來描述分子構象，而真實的分子構象要滿足分子總能量取最小值（最小勢能原理），以此來求解分子的真實構象。以Etotal（這裡E為能量，注意與彈性模量區分）來表示分子總能量，它由以下幾個部分組成

上述每一能量項均由一定勢能函數形式和力場參數構成，這樣就將體系能量僅作為原子（核）坐標的函數而加以求解，可求得材料的靜態結構（分子構象）和各種性能（包括力學、電、磁、熱等多種性能）。以分子力學特定的力場為前提，通過運用力、速度和位置等參數動態模擬材料結構和性能的方法被稱為分子動力學，也是當前材料科學研究的熱門方法。

近年來，人們又結合第一性原理獲得力場參數，即只從普朗克常量、電子的靜止質量、電量等三個常數出發，通過求解薛丁格方程獲得力場參數，完善了分子力學理論體系。這一理論在當代計算機軟、硬體的技術支持下，可實現大體系原子或分子的構象計算，以及材料力學性能的模擬分析。其中優秀的軟體如美國Accelrys公司開發的Materials Studio (MS)軟體，以及開源軟體包Abinit等。這些軟體不僅可以模擬出材料某一方向上的彈性模量E，還可以在三維條件下，模擬材料本構關係的係數矩陣。

考慮最複雜的極端各向異性材料，其本構關係可表示為：

左邊為應力分量組成的列向量，可表示某一點的應力狀態；右邊應變組成的列向量，可表示對應於應力狀態的應變狀態。中間的C矩陣即為彈性係數矩陣。

利用分子動力學求得體系（微觀尺度的材料）的平衡運動軌跡，可對其進行單軸拉伸、純剪切形變等操作，然後在原子水平上由位力公式求得某點的應力張量如下

可見，從物理本質上看，材料的力學性能取決於組成材料的原子的電子結構，更強烈的依賴於其原子和分子的排列方式。因此，利用第一性原理(涉及量子力學)獲得力場參數後，將其應用於分子力學或分子動力學，可對材料微觀構象進行計算，確定出材料的微觀構象，再通過宏觀力學的方法，對原子體系(模擬材料)進行力學上的拉伸、剪切等加載模擬，可獲得材料的各項力學性能指標(包括彈性模量)。

這就突破了彈性模量等表徵材料力學性能的參數只能通過實驗測定的局限，它們也可以通過嚴謹的理論體系進行求解。據文獻介紹，從第一性原理出發模擬出的彈性模量與實驗測試結果具有較高的一致性，但對於其它參數，如屈服極限、強度極限等模擬還存在較大的不足。但作為一種理論方法，在材料設計、力學性能分析、材料本構關係等多個方面，該方法都具有較大的誘惑力！

參考文獻：

[1]王磊.材料的力學性能.東北大學出版社.

[2]肖鶴鳴,許曉娟,邱玲[著].高能量密度材料的理論設計.科學出版社.

[3]李志林.材料物理.化學工業出版社.

[4]郭連權,李大業,劉嘉慧, et al. ZnO晶體晶格常數及彈性模量的第一性原理計算[J].人工晶體學報, 2010, 039(B06):264-268.

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    彈性模量是表徵晶體中原子間結合力強弱的物理量，故是組織結構不敏感參數。在工程上，彈性模量則是材料剛度的度量，是物體變形難易程度的表徵。彈性模量E在比例極限內，應力與材料相應的應變之比。對於有些材料在彈性範圍內應力-應變曲線不符合直線關係的，則可根據需要可以取切線彈性模量、割線彈性模量等人為定義的辦法來代替它的彈性模量值。
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