二〇一九年春天，包括上海天文臺在內的全球六家天文觀察機構同時發表聲明，公布了他們合作拍攝的首張黑洞照片。此前兩年，引力波被直接探測到和阿蒂亞爵士宣布證明黎曼猜想這兩項重大科學新聞，同樣引發了全球公眾的高度關注，絲毫不亞於一年一度的奧斯卡頒獎禮。
物理學家愛因斯坦再次成為人們膜拜的偶像，與黑洞一樣，引力波的存在也是他的廣義相對論所預言的。然而，有一個關鍵性人物被忽視了，那便是十九世紀的天才數學家伯恩哈德·黎曼，他建立的黎曼幾何學是廣義相對論的基石，同時他還提出了迄今為止數學領域最負盛名的黎曼猜想。
一、外表文弱羞怯的年輕人
二〇一〇年秋天，我應德國哥廷根大學一位數學同行的邀請，來到慕名已久的數學聖地做客一個月。一個星期六的早上，我獨自開始了火車之旅。那天我上午遊覽不萊梅，下午遊覽漢堡，它們是柏林以外僅有的兩座直轄市，也是德國吞吐量最大的兩個港口，分別位於威悉河和易北河下遊。
在漢堡用過晚餐之後，我踏上了歸途。與來時路線相反，我選擇了東線，經過呂訥堡、于爾岑，到漢諾瓦後再換車返回哥廷根。
巧合的是，這幾座城鎮恰好都與本文主人公黎曼有著密切的關聯。黎曼在漢諾瓦和呂訥堡念的中學，而于爾岑是離他出生地和度過童年時光的兩個小村最近的火車站。
即便黎曼時代不通火車，這裡也是他去往哥廷根求學的必經之地。火車在日落時分抵達，靠站後我下車去拍攝了站牌，在那短促的幾分鐘裡，我滿腦子都是黎曼。
于爾岑，離黎曼故鄉最近的火車站（蔡天新攝）
然而，關於黎曼的生平，至今我們所知的仍然不多，他本人也沒有留下內心活動的記錄，只有部分往來的書信。黎曼的同代人裡，只有他的師弟戴德金，在黎曼去世十年以後編撰他的文集時為他寫下一篇十七頁的小傳。戴德金是黎曼與他共同的導師高斯的同鄉，出生在不倫瑞克，他是高斯的關門弟子。
依照戴德金的描述，黎曼是個極為羞怯的人，每當出現在人群中，他都會覺得不自在。
這與他從小所處的宗教環境不無關係，他的家族成員都是虔誠的路德教徒，他們「每天在上帝面前自我反省」。家族成員之間的關係則非常親密，每次離開家，黎曼便會犯思鄉病，如同法國前輩數學家、思想家帕斯卡，或者後來客居英倫的印度數學天才拉馬努金。
此外，他和拉馬努金還有一個共同的老朋友——肺結核。
除了思鄉病和肺結核，黎曼還是一位疑病症患者，這個詞是如今流行的抑鬱症的同義語。只不過由於黎曼遺孀的請求，戴德金才避免使用它。黎曼的妻子是其姐姐的朋友，他的姐姐是兄弟姐妹六人中唯一比黎曼活得長久的人。
在他們備受崇敬和愛戴的父親去世以後，黎曼經常沉浸在痛苦的回憶之中，幸好他有一座安逸的避風港，那就是他的數學世界。特別地，黎曼對素數及其分布有著一種深深的、迷人的依戀。
黎曼手跡
那時候德意志已開始實行教育家馮·洪堡倡導的教育改革，大學的首要任務是教學，尤其是培養優秀的中學教師，而把研究工作交給科學院。
於是乎，偉大的數學家高斯也被要求講授「線性代數」，唯有馮·洪堡本人創辦的柏林大學例外，那裡的數學研究處於領先地位，儘管沒有高斯那樣史詩般的英雄人物。幸好還有條規則，學生學習期間可以到其他學校修學。為了汲取更多的營養，黎曼轉學到了柏林。
在柏林大學的兩年期間，黎曼如饑似渴地學習新的、充滿活力的數學，那會兒年富力強的數學家雅可比、狄裡克萊、施坦納和艾森斯坦等人都在柏大。
黎曼向他們學了很多東西——從雅可比那裡學到高等代數和高等力學，從狄裡克萊那裡學到數論和分析，從施坦納那裡學到了現代幾何，而從僅僅比他年長三歲的艾森斯坦那裡則學到了橢圓函數和自信。他有信心超越前輩同行。
二、一顆太陽一樣輝耀的心
一八四九年，黎曼從柏林回到哥廷根。兩年以後，他以一篇題為《單複變函數一般理論的基礎》的論文獲得博士學位，那年他二十五歲。在哥廷根大學求學的最後一年半，他以極大的興趣去聽哲學講座和韋伯的實驗物理學課程，把他的純粹數學暫時放到一邊。
這使得他後來的數學工作常常處於更深的哲學背景下，同時畢生保持了對物理學的濃厚興趣。雖說黎曼外表文弱、羞怯，內心卻勇敢而強大，有一顆像太陽那樣輝耀的心，加上卓越的才華，使他具備一種驚人的衝擊力和能量。
複變函數論是數學的重要分支，黎曼與法國人柯西、德國同胞維爾斯特拉斯被公認為這一分支的三大奠基人，他們的出發點有所不同，柯西是從分析出發，維爾斯特拉斯是從函數論出發，而黎曼則是從幾何出發。黎曼給單值解析函數下了嚴格的定義，還對多值函數定義了黎曼曲面。
此外，他還率先研究了曲面拓撲，並解決了曲面上函數存在性和唯一性的問題，這對後世有著重要影響。這篇論文是十九世紀數學的經典，但在當時除了被高斯關注以外，並未引起太大反響。直到三年以後，黎曼才被哥廷根大學聘為無薪講師。
哥根廷數學研究所走廊裡的黎曼像（蔡天新攝）
一八五四年，黎曼為無薪講師職位做了就職演講。黎曼向系教授會提交了三個題目，其中兩個是關於數學物理的，他原本希望能選中這兩個題目中的一個，因為他已經有所準備。但是最後時刻他又說出了第三個題目，是關於幾何基礎的。
沒想到高斯對這個問題更感興趣，他本人對此已考慮多年，並與俄羅斯數學家羅巴切夫斯基、匈牙利數學家鮑耶各自建立了一種非歐幾何學，即羅氏幾何。黎曼並未有完全的把握，也只好硬著頭皮上臺了。
黎曼任無薪講師時的居所（蔡天新攝）
黎曼演講的題目是《論作為幾何學基礎的假設》，從中他建立起黎曼幾何學的基礎，並給出了黎曼度量的定義。
他把高斯的內蘊幾何從歐幾裡得空間推廣到任意n維空間，並稱其為流形，再把流形上的點用n元有序數組表示。黎曼還引進子流形和曲率的概念，讓他尤其關注的是所謂「常曲率空間」，即每一點上曲率都相等的流形。這種常曲率有三種可能性：曲率為正常數，曲率為負常數，曲率為零。
黎曼指出，第二種和第三種分別對應於羅氏幾何和歐氏幾何，而第一種情形對應的則是他創造的黎曼幾何。在歐氏幾何裡，過已知直線外一點恰好能做一條直線與該直線平行；在羅氏幾何裡，過已知直線外一點可做不止一條直線與該直線平行；而在黎曼幾何裡，過已知直線以外一點不能做任何直線與該直線平行。可以這麼說，黎曼是第一個理解非歐幾何學全部意義的數學家。
作為黎曼幾何的球面，其上的三角形內角和大於180度
黎曼的演講所含思想如此豐富和先進，人們用諸如「劃時代的」「不朽的」等詞形容它。六十年以後，愛因斯坦廣義相對論所需要的數學工具，即三維空間和時間可以在數學上處理為四維空間，已包含其中。
作為牛頓之後最重要的科學發現，廣義相對論首次把引力場解釋成時空彎曲，並推導出大質量恆星最終歸結為一個黑洞。而在黎曼幾何裡，球面上兩點的最短距離正是彎曲圓弧的一部分。
黎曼擔任無薪講師的第二年，高斯去世了，黎曼在柏林大學時的老師狄裡克萊繼承了高斯的職位，沒料到四年以後，狄裡克萊也去世了。在此期間，黎曼的父親、弟弟和兩個妹妹相繼去世，他永遠失去了故鄉的避難所。
一八五九年七月三十日，黎曼繼承了高斯的職位，晉升為正教授。他和他僅存的兩個姐妹搬進了天文臺，那是高斯生前居住過的地方。之後，榮譽接踵而來，在黎曼晉升教授僅僅十二天以後，三十二歲的他被任命為柏林科學院通訊院士。
哥根廷天文臺，繼高斯之後，黎曼一家也曾住在這裡（蔡天新攝）
三、他對素數有著迷人的依戀
在授予柏林科學院通訊院士的儀式上，黎曼又做了一次題為《論小於一個給定值的素數個數》的重要報告。他先是向高斯和狄裡克萊兩位前輩表達敬意和感謝，接著引入十八世紀數學家歐拉發現的關於素數的無窮乘積的級數展開式，那被認為是解析數論的金鑰匙。
黎曼把上述級數展開式命名為函數ζ，它被後人稱為黎曼ζ函數，即從1到無窮正整數n的s次方倒數之和。容易推出，這個函數在負實數軸的偶數點均取零值，這被稱為平凡零點。
黎曼論文《論小於一給定值的素數個數》，此文提出了著名的黎曼猜想
這是黎曼在數論領域發表的唯一一篇論文，也是迄今為止這個被稱為「數學皇冠」領域裡最重要的一篇文獻。換句話說，柏林非常偶然地成為如今赫赫有名的黎曼猜想的誕生地。這個猜想是說：黎曼ζ函數的所有非平凡零點都在實部為1/2那條垂線上。
黎曼之所以用那個題目，是因為高斯曾提出「小於某個給定值的素數個數」這一非常熱門的問題。假設不超過x的素數個數為π，高斯猜測π~x/lnx。這便是著名的素數定理。
十九世紀的最後十年，素數定理忽然有了轉機。一八九〇年，法國科學院設立了大獎，授予「確定小於一個給定值的素數個數」的最佳論文。結果，年輕的法國人阿達瑪拿走了大獎，但他並沒有證明素數定理。
三年以後，德國數學家馮·曼戈爾特得出一個結論：如果某個比黎曼假設弱得多的猜想獲得證明，那就可以證明素數定理。這個弱黎曼猜想是說：黎曼ζ函數的非平凡零點實部小於1。
正是沿著這個思路，翌年阿達瑪殺了一個回馬槍，證明了上述弱黎曼猜想，從而證明了素數定理。與他分享這個成就的還有比利時人普桑，幸運的是，他們之間並沒有像牛頓與萊布尼茨那樣出現「優先權之爭」，這可能是「論證」與「發明」的差異。
半個多世紀以後，挪威人賽爾貝格和匈牙利人愛多士各自用初等方法再次證明了素數定理，仍收穫巨大的榮譽，分別得到菲爾茲獎和沃爾夫獎。
素數定理是十九世紀的大白鯨，也就是說，是最吸引人、最具挑戰性的數學難題，就如同二十世紀的費馬大定理，它們都在世紀末獲得證明。有個說法，誰證明素數定理，誰就將獲得永生。事實上，普桑是在九十六歲差五個月時去世，而阿達瑪走時九十八歲差兩個月。
阿達瑪的人生經歷過磨難，他的三個兒子均死於兩次世界大戰，最鍾愛的孫子死於登山事故。一九三六年，阿達瑪曾來清華大學訪學，其間幫助華羅庚與蘇聯數學家維諾格拉多夫建立了聯繫。
無論如何，素數定理的證明是一個轉折點。它是由弱黎曼猜想推導出來的。可以這麼說，假如沒有黎曼出人意料的工作，素數定理是否能在今天獲得證明仍不好說。與此同時，因為素數定理的證明，黎曼猜想一下子被推到了前臺，每個數學家都要面對或被問及。以至於在二〇一八年秋天，年邁的菲爾茲獎和阿貝爾獎獲得者阿蒂亞爵士事先昭告天下，並在海德堡當眾宣布他證明了黎曼猜想。
可是，他的證明並不成立。
讓時間回到一九〇〇年八月八日，哥廷根數學學派掌門人希爾伯特在巴黎大學登臺演講。那是第二屆國際數學家大會的一個特邀報告，希爾伯特的演講題目是《數學問題》—開頭那句話，數學人都十分熟悉，就如同文學愛好者熟悉加西亞·馬爾克斯《百年孤獨》的開篇。「我們當中有誰不想揭開隱藏著未來的帷幕，看一看我們這門學科接下來的進展和在未來世紀中如何發展的奧秘？」
希爾伯特列舉出了二十三個問題，它們為二十世紀數學的發展指明了方向。在他的問題中，被公認為最重要、最難解決的是第八個問題，其中提到了三個與素數有關的難題——哥德巴赫猜想、孿生素數猜想和黎曼猜想。在那以後，黎曼猜想也引起了海峽對岸英國數學家的關注。
在此以前，由於微積分學的「優先權之爭」，使得海峽兩岸數學交流中斷了一個多世紀，英國數學大大地落後了。直到哈代的出現，才又有了劍橋學派，英國數學再度崛起。
晚年的哈代出版了一本奇特的散文集《一位數學家的辯白》。將近七十年之後，我造訪劍橋時仍在書店的顯著位置見到此書。正是哈代發現了印度數學天才拉馬努金，他也是華羅庚訪問劍橋時的指導老師。一九一四年，即第一次世界大戰爆發之年，哈代率先證明了：黎曼ζ函數在實部為1/2這條直線上存在無窮多個零點。
與此同時，也有人認定黎曼猜想不成立，其中就有「電子計算機之父」圖靈，他是哈代的學生。從二十六歲開始，圖靈著迷於尋找一個實部非1/2的非平凡零點。起初他試圖設計機械計算裝置來生成反例，後來因「二戰」中斷了。戰後圖靈藉助計算機算出了一千零五十四個零點，可惜沒有一個是他希望的反例。
不然的話，即便因性取向遭受歧視和侮辱，相信他也不會去咬那隻塗有氰化物的蘋果。如今，人們已算出數千億個非平凡零點，它們依舊在實部1/2那條線上。
四、世間萬事萬物相互助力
雖說牛頓既是數學家又是物理學家，但這兩個身份並沒有真正的區別，對黎曼來說，這種區別也不明顯。黎曼的想像力很大程度上類似於物理學家，在他生前發表的所有十篇論文中，有四篇屬於物理學的範疇。
這十篇論文相互獨立，各自引領一個方向或學科。如同《英國百科全書》「黎曼」條目所寫的：「他的學術成果大部分是傑作——充滿了獨創性的方法、意義深刻的思想和廣泛深遠的想像。」
黎曼畢生保持著對物理學的濃厚興趣，他熱衷於研究熱學、聲學、電學和光學。黎曼的論文《論有限振幅平面聲波的傳播》討論了壓縮波和膨脹波：壓縮波壓縮得越厲害，波速更快；膨脹波膨脹得越厲害，波速減緩。一八六〇年，黎曼發表了《熱傳導的一個問題》，從中發展了二次微分形式，它也是相對論的基礎。同年，黎曼訪問了巴黎，受到法國數學同行的熱情接待，他們給予黎曼極大的讚賞。
一八六二年夏天，三十六歲的黎曼結婚了，夫人叫愛麗絲。婚後不到一個月，他患上了胸膜炎，繼而導致肺結核。從此黎曼與義大利結了緣，他生命最後的四年基本上是在亞平寧度過的，那裡有著溫暖的氣候。
黎曼很喜歡義大利的藝術，他的獨女伊達在比薩出生。有兩次黎曼以為自己康復了，但穿越阿爾卑斯山的旅途勞頓和嚴寒天氣又使得病情復發，幸好哥廷根大學方面慷慨地一再延長他的休假期。
黎曼像（1863年）
英裔美國作家德比希爾畢業於倫敦大學數學系，他的《素數之戀》曾獲首屆歐拉圖書獎。他把數學家分成兩類，即邏輯型的和直覺型的，並舉維爾斯特拉斯和黎曼為例。
他認為維爾斯特拉斯是攀巖者，每一步都建立在堅實的論證基礎上，而黎曼則是空中飛人表演者，有很強的直觀想像力和跳躍性的思維。這讓我想起新近因為新冠肺病去世的美國物理學家戴森，他寫的《飛鳥與青蛙》也把天才人物做了相似的分類。
在生命的最後一年，黎曼接連獲得榮譽。巴黎科學院選舉他為通訊院士，英國皇家學會選舉他為外籍會員。與此同時，他的病由於結合了黃疸症而變得越發嚴重。一八六六年七月二十日，黎曼在義大利北部的塞拉斯加與世長辭。
黎曼走時十分寧靜，由他父親傳遞給他的那份虔誠始終伴隨著他。而黎曼這個名字，無論過去、現在還是將來，都將永遠伴隨著每一位數學工作者。黎曼安葬在阿爾卑斯山南麓的馬焦雷湖畔，墓碑上刻寫著聖徒保羅的一句話：
世間的萬物相互助力，愛神的人必諸事順暢。
義大利馬焦雷湖畔的黎曼之墓
黎曼下葬後，愛麗絲帶著伊達返回了哥廷根。伊達成年以後嫁給一位數學博士，黎曼的這位從未謀面的女婿後來出任不萊梅一所航海學校的校長，把嶽母和嶽父唯一在世的姐姐接了過去。他們組建了一個大家庭，兒孫的數目難以統計，黎曼的後裔如今已融入普通百姓之中。