學習高等數學,應該先學理論還是先讀文獻?

高等數學是很多大學生的噩夢，但在高數老師眼裡，學習數學的方法是如此簡單的明了。來自北京大學的關啟安教授通過講述他解決強開性猜想的思路歷程，向大家分享了學習數學心得與建議。那麼什麼是強開性猜想？它的研究對象是什麼？

出品："格致論道講壇"公眾號（ID：SELFtalks）

以下內容為北京大學數學科學學院教授關啟安演講實錄：

這個題目是從強開性猜想說起，匯報包括三部分。

強開性猜想的解決

首先，數學一般是這樣的，講這個猜想，先要講它是關於什麼的一個猜想。

它的研究對象被稱為乘子理想層，它是n維複流形上的乘子理想層。

這個乘子理想層的定義是複流形上的全純函數芽層的一個子層，滿足加權的L2可積性條件，這是局部可積的一個條件。

這個權，是複流形上的一個多次調和函數。

乘子理想層這個研究對象，是復幾何和復代數幾何中重要的研究對象，在現代高維代數幾何的研究中，起一個中心作用。

它的研究困難就是，一般的多次調和函數，就是權的奇點很複雜，可以取負無窮。

下面就要介紹一下：在乘子理想層的研究與應用中，做出重要貢獻的專家包括田剛院士、蕭蔭堂院士、Demailly院士、Kollár院士等。

這裡邊就要介紹一下強開性猜想的內容。

首先要介紹一下提出的過程。

這是Demailly院士在2000年左右提出的，他研究了具有強開性質的乘子理想層並得到重要的成果。

由此提出這樣一個猜想，就是任意的乘子理想層都具有強開性質。

Demailly教授在他的2012年出版的專著中，稱這個猜想可能非常難以建立，就是 probably quite hard to estabish。

這個強開性猜想還有一個重要的特殊情形，我們稱為開性猜想，就是平凡的乘子理想層具有強開性質。

這裡需要解釋一下什麼是「開」。

這個「開」，可能需要大家學過一點高等數學的內容，高等數學我們都學過。

一說高等數學，我心情就比較舒暢，因為我講過高等數學。

高等數學裡邊有一個非常重要的概念，就是黎曼可積。

但是我們知道，黎曼可積的一個必要條件是有界。

所以說，對於無界的，我們又再定義一個叫做廣義的黎曼可積的概念。

這裡邊有三個函數，三個廣義的黎曼積分。

第一第二個我們知道 ，這個廣義積分是可積的話，那麼它就若且唯若P是小於1的。

而第三個積分可積的話，若且唯若P是小於等於1的。

也就是說，它在等於1的地方也是可積的。

這樣的話，我們知道例1和例2，這個可積的P的取值範圍，是一個開區間，這就是我們所謂的開的含義。

例3是個閉區間，那它也就不具備這個開的性質。

所以我們就說，強開性質實際上對應的就是例1和例2的情況，就是說P取值是一個開區間。

再解釋一下，如果一個P是可積的，那麼這個P還可以再大一點，這是區間的定義。

接下來我們就要講一下強開性猜想的解決，回顧一下它的研究歷程。

二維的開性猜想是被Favre-Jonsson解決的，他們解決的這個猜想是通過代數幾何的賦值樹理論，他們發展了一套叫做賦值樹的理論。

他們的論文發表在這個頂尖的數學期刊了，這是 JAMS（數學領域最頂級的期刊之一）。

二維的強開性猜想也是沿著這個路子來的，也是要用到這個所謂的賦值樹代數理論，這是Jonsson-Mustata解決。

而開性猜想是被Berndtsson解決的，他用的是凸幾何當中發展而來的叫做complex Brunn-Minkowski Inequality不等式的這套方法。

強開性猜想是被我和我的老師周向宇院士合作解決的。

我們的定理是這個猜想成立，就是任意乘子理想層具有強開性質。

當然我們的論文是2015年發表的，實際上2013年做出來的。

這個猜想難在哪兒？

難在我們不同於之前的方法，我們是對於維數進行了歸納。

可能同學們會覺得很奇怪，前面的人為什麼沒有想到對於維數進行歸納呢？

這裡我們需要解釋一下，為什麼我沒有列一維的開性猜想被誰解決。

因為一維的對於專家來說，是一個熟知的經典結論，它有非常多的方法來證明，因為一維的乘子理想層是有分類的，它有結構定理。

而二維的情況就非常複雜，我們看到他們發表的期刊，也幾乎是數學當中最難發的期刊之一了，這是JAMS 和 Inventiones。

而二維之後，它們的代數框架就發展到三維，就很難去進行，而Berndtsson的方法也沒有用到對於維數的歸納法。

這裡我們可以回顧一下，我們在中學學歸納法的時候，一般第一個例子就是1+到N這樣一個求和公式，用歸納法來進行證明。

那麼N等於1的時候，這個就不用證了，N等於2的時候，1+2等於3，你也是很容易證明這件事的。

三維的時候也還可以，1+2+3等於6，這個也可以。

而這個時候你非常機智地想，如果N等於K成立，那麼K+1怎麼證。

這是一個證明過程，對於這個猜想來說，我們可以看到，一維是熟知的，二維就非常困難，所以說想用歸納法，這件事情就很困難。

而我跟我的老師經過多次討論，我們發現了一種在一維情況下的一個全新的證明強開性猜想的辦法，而這個方法恰好可以進行對於維數的歸納，這樣我們就完全解決了這個猜想。

這個猜想有很多評價，我取了其中一個，就是《美國數學評論》的一個評價。

評價稱，我跟我的老師合作解決的這個強開性猜想的工作，是近年來複分析與代數幾何交叉領域最重大的成就之一。

他用的是the greast achievements，這是一個評價。

既然我們提到了複分析與代數幾何交叉領域，我們就要說一下，複分析與代數幾何交叉領域是多復變中最前沿、最核心的領域，是代數幾何中最重要的研究領域之一。

主要研究人物包括Berndtsson院士、Demailly院士、Hacon院士、Kollár院士和蕭蔭堂院士等。

數學學習的建議

下面就是介紹一下第二部分了，這也是匯報一下我在研究生的時候學數學的體會，這裡引用了我的老師在討論班上經常教導我們的一些話。

首先是勤於思考，多動腦筋，當然這個是對於基礎數學的研究生的學習。

然後是對於一個定理，不光要知道內容、會證明，還要思考條件是否必要，證明是否可以簡化，結論是否可以改進，有沒有相應的例子等。

需要說一下，這個可能是基礎數學學習的一個特點。

我們在中學的時候，數學往往就是一個條件、一個結論，非常的乾淨利索。

但是往後我們會發現定理條件越來越多，就會出現一個問題 ，這個條件是否是有必要的。

當然一般來說，經典定理的條件都是有必要的，那我們考慮的問題就是，如果這個條件去掉的話，應該就會有反例。

這裡也是討論有沒有相應的例子，就是考慮這方面的例子。

還有，你要學習它的證明，比較重要的方法，這個證明是否可以簡化。

如果你可以把這個證明進行簡化，那說明你對這個定理的證明的理解，已經非常到位了。

最後就說結論是否可以改進，這件事情就與研究相關了。

如果你可以改進它的結論，那說明你的研究已經開始進步了。

講高等數學的感悟

其實我的一個重要身份就是數學教師，因為我們的教學任務必須要有的，就是要給本科生教學。

我上課也是，我這學期的教學就是高數，高等數學，所以我正好也講一講，高等數學的感悟。

講到高等數學的感悟，就要講到我上第一堂課。

實際上我在到北大教學之前，我沒有上過這種大課，但是上過小課。

我們新教師培訓的時候，學校的領導非常用心地為我們準備了很多資深的教師，讓他們給我們講如何上第一堂課。

我記得當時好像是一個化學院的資深的教授給我們講，我也非常認真地做了筆記，但是當我推開門進到階梯教室，看著滿屋子學生的時候，我什麼也想不起來了，我就感覺我的嘴跟我的人已經分離了。

然後我就講啊，講完之後，過了幾年，我問第一批學生，我第一堂課是不是對你們進行了非常大的人生啟迪，或者對你們以後的工作有什麼重要的影響。

他們說，這我可能也想不起來，但是我們都記得你當時很緊張，說我從小學到中學都沒有見過這麼緊張的老師。

但是現在第一堂課，我肯定是要介紹一下，實際上是課程介紹。

首先介紹我是誰，這個課怎麼講，怎麼去評分，然後怎麼交作業，基本上這個意思。

那麼一般是這樣講的 ，首先，這個是我們的教材，高等數學。

這個教材裡面包含的內容有一定的特點，它包含的內容非常多。

因為它包含微積分、常規方程、線性代數、解析幾何等等。

這是其實在數學系裡邊，這是好幾門課，但是它都濃縮在一本書當中。

這樣學習起來會有這樣一件事情。

一般我們開始講的時候，先講極限，為了方便同學們理解，我們都會跟高中的內容進行一些糅合，慢一點引入，讓大家比較輕鬆愉快地去理解這件事情。

但是會給同學們一個印象，這個課很簡單。

但是我們有這麼多內容，我們講到後邊，肯定就要開始加速了，加速的時候同學就會發懵，而這個懵的情況，很有可能會持續到期末。

就是他一旦清醒，發現快考試了，這又很麻煩。

所以說，同學們學這個課，一定要提前預習，還要儘量理解內容。

要加強理解，就要多做題，多讀書，讀好書。

然後我們會面臨一個問題，兩個選擇，一個是仔細學習經典內容，還是說，大量地閱讀相關的材料。

仔細學習經典內容是一個比較累的過程，因為你要做很多題目，然後要去，仔細地算很多東西，算很多例子。

而閱讀相關文獻，可能給人一種感覺，就是我的知識很廣博。

但我的建議是，先仔細學習經典內容，有餘力再閱讀相關文獻。

為什麼呢？

因為數學它是有一定思想的，也就是說，當你把經典內容學清楚之後，再讀一些文獻，是有可能達到觸類旁通的效果的。

當然有同學肯定會有這個疑問 ，如果我學習經典內容還很困難，那我怎麼辦。

這部分同學也不要灰心，因為我也經常有這種感覺，學習經典內容的時候，確實也是一直有困難的。

但是，我們只要努力學習就可以了。

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