根據合加速度方向和合初速度方向的關係，判定合運動是直線運動還是曲線運動，具體分為以下幾種情況：
（1）兩個勻速直線運動的合運動一定是 勻速直線 運動．
（2）兩個初速度均為零的勻變速直線運動的合運動一定是 初速度為零的勻變速直線運動．
（3）一個勻速直線運動和一個勻變速直線運動的合運動是 勻變速 運動，當二者速度方向共線時為勻變速直線運動，不共線時為勻變速曲線運動．
（4）兩個勻變速直線運動的合運動一定是 勻變速 運動．
若兩運動的合初速度方向與合加速度方向在同一條直線上，則合運動是勻變速直線運動，如下圖所示．
若合初速度方向與合加速度方向不在一條直線上，則合運動是勻變速曲線運動，如下圖所示．
兩個直線運動的合運動性質的判斷
例題1.（單選題）關於兩個運動的合運動，下列說法中正確的是（ ）
A．兩個直線運動的合運動一定是直線運動
B．兩個互成角度的勻速直線運動的合運動一定是勻速直線運動
C．兩個互成角度的勻變速直線運動的合運動一定是勻變速直線運動
D．兩個分運動的時間和它們的合運動的時間不相等
【答案】B
【解析】兩個分運動是直線運動，其合運動不一定是直線運動；兩個勻速直線運動的合運動一定是勻速直線運動，故選項B正確，A錯誤．
兩個互成角度的勻變速直線運動，合初速度為v，合加速度為a，由物體做曲線運動的條件可知，當v與a共線時，合運動為勻變速直線運動，當v與a不共線時，合運動為勻變速曲線運動，故選項C錯誤．
分運動和合運動具有等時性，故選項D錯誤．
例題2.（單選題）如下圖所示，一塊橡皮用不可伸長的細線懸掛於O點，用鉛筆靠著細線的左側水平向右勻速移動，運動中始終保持懸線豎直，則橡皮運動的速度（ ）
A．大小和方向均不變
B．大小不變，方向改變
C．大小改變，方向不變
D．大小和方向均改變
【答案】A
【解析】橡皮參與了兩個分運動，一個是沿水平方向與鉛筆速度相同的勻速直線運動，另一個是沿豎直方向與鉛筆移動速度大小相等的勻速直線運動，這兩個直線運動的合運動是斜向上的勻速直線運動，故選項A正確．
先確定兩個分運動，再確定合運動．
（1）橡皮在水平方向做勻速直線運動，在豎直方向也做勻速直線運動．
（2）橡皮的實際運動是兩個勻速直線運動的合運動．
1. 小船渡河問題可以基於以下幾點進行理解和分析
（1）將船的實際運動看成船隨水流的運動和船在靜水中的運動的合運動．船的航行方向是實際運動的方向，即合速度的方向．
（2）如下圖所示，v水表示水流速度，v靜水表示船在靜水中的速度，將船在靜水中的速度v靜水沿平行於河岸和垂直於河岸方向正交分解，則v水－v靜水cos θ為船實際上沿水流方向的運動速度，v⊥＝v靜水sin θ為船在垂直於河岸方向的運動速度．兩個方向的運動情況相互獨立、互不影響．
問題：船在靜水中的速度為v船，水流的流速為v水．船怎樣行駛才能使過河時間最短呢？最短時間是多少呢？
解決：為船任意選擇一個行駛方向進行研究，如下圖所示，船頭與河岸的夾角為θ．那麼，船速可以分解為：用以過河的v1和順流而下的v2，v1垂直於河岸，v2平行於河岸．
v1=v船sin θ
v2=v船cos θ
（1）從物理角度分析，順流而下的速度v2對過河毫無意義，他疊加到水速的效果上，只是使船沿河向下遊的速度變大了而已．只有v1才有意義．那麼當船頭垂直於河岸行駛時，速度就不會浪費了，所以船頭應該垂直於河岸行駛．
（2）從數學角度分析，當時，v1最大，過河時間最短．
以上兩種分析方法殊途同歸，得到相同的結論：
雖然這樣過河時間最短，但是，位移不是最短的哦！小船真實的運動軌跡如下圖所示．
小船如何渡河時間最短
（1）問題1：船在靜水中的速度為v船，水流的流速為v水，v船>v水．船怎樣行駛才能使過河的位移最短呢？最短位移是多少呢？過河時間是多少呢？
分析：船即使不開動自己的動力，也能獲得一個水給它的速度v水，即船順流而下．船還有自己的動力能產生速度v船．
船頭朝向不同，船行駛的真實軌跡就會不同，這樣船可以行駛出無數條軌跡．很明顯其中垂直於河岸的軌跡位移最短．
解決：
①合成法
水給予船的漂流速度大小和方向不變，為了使船的真實軌跡垂直於河岸，就需要通過調整船頭方向，使船速與水流速合成一個垂直於河岸的實際過河速度，如下圖所示．其中：設船與河岸的夾角為α，則
②分解法
為了抵消水流的影響，船必須有一個逆流而上的速度v船1，且v船1=v水，另外船還必須有一個垂直於河岸過河的速度v船2，它們是v船的兩個分速度．所以，船頭必須沿斜向上遊方向行駛．設船與河岸的夾角為α，則
以上兩種分析方法殊途同歸，得到相同的結論：
雖然這樣過河位移最短，但是，時間不是最短的哦！
（2）問題2：船在靜水中的速度為v船，水流的流速為v水，v船<v水．船怎樣行駛才能使過河的位移最短呢？最短位移是多少呢？過河時間是多少呢？
分析：船是否能垂直河岸過河呢？因為v船<v水，所以船即使全力以赴也不足以對抗河流給它的影響．不論船頭方向如何，總是被水衝向下遊，即v合一定會偏向河流下方．船走不出垂直於河岸的軌跡．
雖然走不出垂直於河岸的軌跡，但是由於船頭不同的指向，依然可以走出無數條不同的軌跡，在這些軌跡中跟河岸的夾角最大的軌跡位移最短．
解決：當船頭指向與水流方向成θ角時，依據運動合成的平行四邊形定則，船的實際運動速度v合表示如圖．
應用矢量三角形法則，平移v船，使v船和v水首尾相接，連接v水的首端和v船的尾端的有向線段就是v合．
隨著船頭指向變化，v船繞著v水的尾端形成一個半圓，v水不變，v合的大小與方向均發生變化．當v合與半圓相切時，與河岸的夾角最大，這時船過河的位移最短．
當v合與半圓相切時，v合與v船成直角，設船頭跟河岸的夾角為α，則有：
cos α=v船/v水，（α與θ互補）
v合=v水sin α
最短位移xmin＝d/cos α
過河時間t=d/（v船sin α）
當面對複雜問題沒有頭緒的時候，聰明的人總是先任選一種情況進行探索，找一下規律，例如剛才我們就是通過研究船頭與河水流向成θ角時的情況找到了解決問題的方法．
小船如何渡河距離最短？
例題1.（解析題）小船要渡過200m寬的河，水流速度為2 m/s，船在靜水中的速度為4 m/s．
（1）若小船的船頭始終正對對岸，它將在何時、何處到達對岸？
（2）要使小船到達正對岸，應如何航行？歷時多久？
（3）小船渡河的最短時間為多少？
（4）若水流速度為5 m/s，船在靜水中的速度為3 m/s，則怎樣渡河才能使船駛向下遊的距離最小？最小距離為多少？（sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，結果取整數）
【答案】（1）50s時在正對岸下遊100m處靠岸；
（3）50s；
（4）船頭與上遊河岸的夾角為53°；最小距離為267m；
【解析】（1）小船渡河過程參與了兩個分運動，即船隨水流的運動和船在靜水中的運動．因為分運動之間具有獨立性和等時性，故小船渡河時間等於它在垂直河岸方向上的分運動的時間，即
小船沿水流方向的位移
s水＝v水t⊥＝2×50m＝100m
即小船將在正對岸下遊100m處．
（2）要使小船到達正對岸，即合速度v應垂直於河岸，如下圖所示．
則
（3）考慮一般情況，設船頭與上遊河岸成任意角α，如下圖所示．
小船的渡河時間取決於小船垂直於河岸方向上的分速度
v⊥＝v靜水sin α
故小船渡河時間為
當α＝90°，即船頭與河岸垂直時，渡河時間最短，最短時間為 tmin＝50s．
（4）因為v′靜水<v′水，所以小船不可能垂直河岸橫渡．如下圖所示．
設船頭（v′靜水）與上遊河岸成β角，合速度v′與下遊河岸成γ角，可以看出γ角越大，船駛向下遊的距離x′越小．以v′水矢量的末端為圓心，以v′靜水的大小為半徑畫圓，當合速度v′與圓相切時，γ角最大．
船頭與上遊河岸的夾角
β＝53°
代入數據解得
x′≈267m．
小船渡河問題主要考查合運動與分運動的關係，要弄清物理情境．要使小船渡河的時間最短，只要小船在靜水中的速度方向垂直河岸即可，但是求渡河的最小位移時，要注意小船在靜水中的速度與水流速度的大小關係，選用不同的分析方法．在分析求解具體問題時，要明確小船渡河時其航行的方向為合速度的方向，這是解答此類問題的關鍵．
關聯速度問題一般是指物拉繩（或杆）和繩（或杆）拉物問題．高中階段研究的繩都是不可伸長的，杆都是不可伸長且不可壓縮的，即繩或杆的長度不會改變．
1. 速度規律繩、杆等連接的兩個物體在運動過程中，其速度通常是不一樣的，但兩個物體沿繩或杆方向的速度大小相等，我們稱之為關聯速度．
第一步：先確定合運動，即物體的實際運動．
第二步：確定合運動的兩個實際作用效果，一是沿繩（或杆）方向的平動效果，這個效果改變速度的大小；二是沿垂直於繩（或杆）方向的轉動效果，這個效果改變速度的方向．即將實際速度分解為垂直於繩（或杆）和平行於繩（或杆）方向的兩個分量．
第三步：按平行四邊形定則進行分解，作出運動矢量圖．
第四步：根據沿繩（或杆）方向的速度相等列方程求解．
問題：車拉船運動，車勻速前進，速度為v，當繩與水平方向成α角時，船速v′是多少？
分析：繩與船接觸的點M是個特殊的點，此點既在繩上又在船上．在船上，是實際運動（合運動）．在繩上，同時參與兩個分運動．
點M從A到B的運動情況比較複雜，為了便於理解和觀察，把運動過程等效分解為兩個獨立的運動過程．一個是繞滑輪做的圓周運動，這個運動不改變繩長，每一時刻的速度方向都垂直於繩的方向．另一個是沿著繩的方向做的直線運動，這個運動是由於車拉動繩向O點收縮引起的．
所以點M的速度每時每刻都可以分解為兩個速度．
一個是垂直於繩的方向的v1．
另一個是沿著繩的方向的v2．
則有：
v1=v′sin α
v2=v′cos α
車和船都在同一根繩上，由於繩的長度不會改變，所以車和船的實際速度沿繩方向的分速度大小相同．
解決：車在繩上的分速度等於船在繩上的分速度．即
v=v2
v=v′sin α
所以
v′=v/sin α
（1）兩個物體的繩子末端速度的分解
如下圖所示，兩個物體的速度都需要分解，其中兩個物體的速度沿著繩子方向的分速度是相等的，即vA∥=vB∥．
（2）兩個物體的硬杆末端速度的分解
如下圖所示，a、b沿杆的方向上各點的速度大小相等．
vacos θ=vbcos α
va：vb=cos α：cos θ
例題1.（單選題）固定在豎直平面內的半圓形剛性鐵環，半徑為R，鐵環上穿著小球，鐵環圓心O的正上方固定一個小定滑輪．用一條不可伸長的細繩，通過定滑輪以一定速度拉著小球從A點開始沿鐵環運動，某時刻小球運動至如下圖所示位置，若繩末端的速度為v，則小球此時的速度為（ ）
【答案】A
【解析】小球的速度方向沿鐵環的切線方向，將小球的速度分解為沿繩方向和垂直於繩方向的分量，沿繩方向的速度為v，則v′cos 30°＝v，解得
選項A正確．
找準合運動，分解合運動，不能分解分運動．