一、三維空間和四維時空
在三維空間中，最大的特點是兩個點的距離不隨坐標系的變換也而變化。你無論是平移還是旋轉，兩個點的距離r始終是一個定值。如果設一個坐標為原點，則r=(x2+y2+z2)1/2是一個定值，S=x2+y2+z2為一個定值。
但是在四維時空下，x2+y2+z2不再是一個定值，加入時間這個坐標後，S= x2+y2+z2-(ct)2才是一個定值，亦可以表示為S=r2-(ct)2為一個定值，或者S= x2+y2+z2+(ict)2。其中i是虛數，i2=-1。
這樣，在四維時空中根據S是一個定值，很容易推導出v=dr/dt=c，或者vx=dx/dt=c(假設沿x方向運動)。
也就是說，在四維時空中，沒有靜止質量的玻色子，在不與任何其它物質產生相互作用的真空中，其速度為c是一個天然屬性，是由四維時空的自身性質決定的。
這樣，原來三維空間中的三個相互垂直的坐標系x軸、y軸和z軸在四維的時空坐標中，則由x軸、y軸、z軸和ict軸（簡寫為w軸）代替。任何一點在時空中的坐標位置，都可以有x，y，z和ict(w)四個坐標來表示。
為了表示直觀，我們捨去y軸和z軸，僅展示出x軸和w軸，並順手推導出看似神奇的狹義相對論坐標轉換公式。
二、狹義相對論公式的推導
如圖所示，如果假設我們自身為原點，且靜止不動，則我們自身在時空坐標中的狀態是什麼？是一條沿w坐標軸向上的直線，x坐標值始終為0，而時間t在流逝，ict值在不斷增加。
此時，如果有一個物體相對於我們沿著x軸正向以速度v運動，那麼它在時空坐標中的狀態是什麼呢？是一條斜直線，如圖所示，如果其x坐標表示為vt，則其w坐標為ict，其與w坐標軸的夾角θ。很容易得出tanθ=iv/c，並可以順手推出sinθ=，cosθ=。
如果現在我們以該運動物體為參照系，意味著什麼？就意味著該物體的運動狀態變成了新的w軸，我們設為w『。此時我們就有了一個新的坐標系w』、x』。
那如果原來的坐標系中有一點S（x,ict），其在新的坐標系中的，其坐標值(x』,ict』)是什麼呢？
根於w』軸相對於w軸的位置可以看出，坐標軸繞原點順時針旋轉了θ角，也就相當於坐標相對於原點逆時針旋轉了θ。根據坐標變化公式，x』=xcosθ-wsinθ，w』=xsinθ+wcosθ，將sinθ和cosθ的值帶入，即可得，
這恰好就是狹義相對論的坐標轉換公式。
如果仔細看完這個推導過程，就可以看出其實這個推導非常簡單，是四維時空坐標系下一個順手完成的事情。唯一需要注意的是時間軸的坐標是一個虛坐標，處理的時候要小心一點。
狹義相對論的時空坐標轉換公式不神奇，真正有意思的是對四維時空的理解，這才是更有價值和意義，也更有趣的事情，對於我們理解量子力學中費米子和玻色子的運動屬性，可以起到非常重要的作用。