廣義相對論是愛因斯坦最偉大的成就，當然也是近代大尺度物理學/宇宙學最偉大的成就。而愛因斯坦場方程則是廣義相對論的最凝練的核心數學表達式，愛因斯坦場方程對很對人來說是非常神聖和神秘的。今天，我們準備寫一篇簡單的科普文章介紹一下愛因斯坦場方程是如何推導出來的。或許要請大家做好心理準備，愛因斯坦場方程的推導並不是從數學或者物理上通過數學定律或者物理定理嚴格推導出來的，而是通過對物理的深層次的認知，加上對數學的精通，猜測出來，是的，是一個美妙的物理直覺性的猜測結果！當然，如果說的更科普一些，哲學的觀點在廣義相對論的創立上起了很大的推動作用，這一點與狹義相對論截然不同，狹義相對論的數學公式有著標準、嚴格且完全自洽的推導過程。改天，我們也寫一篇科普的文章來討論一下狹義相對論的推導過程，今天我們專注於愛因斯坦場方程的推導過程，從而去稍微的感受一下：哲學或者數學是如何影響並加速物理進程的。
我們試圖用最簡單的數學描述語言，解釋清楚愛因斯坦場方程是如何導出的。但是再此之前，我們假定大家都是熟悉歐氏幾何（或者歐式空間的），也就是我們平常所直覺的平直的空間，而且在歐式空間中（正常的三維空間），大家最熟悉的笛卡爾坐標系被用來描述空間中的物理點。但是隨著數學的進步（數學的進步總是很神奇的領先於任何一門自然科學的，放到近現代，更是如此！），物理學家和數學家開始認識到，我們所處的空間可能使用黎曼時空（或者叫類黎曼時空，愛因斯坦的原文中使用了Semi-Riemannnian的字眼）更加合適！於是廣義相對論的徵程從純數學的黎曼時空開始出發。
完全基於數學的黎曼時空可以用四維坐標來表示：三個空間坐標和一個時間坐標，寫法與平常我們熟悉的笛卡爾坐標系有些差別，用xu（u=1、2、3、4）來表示黎曼時空中的某個物理點（例如：u=1、2、3表示其中的空間性質，u=4表示時間性質），這裡的xu並不是x的u次方的涵義！這是一種為了後面更加方便的使用張量的一種大家都廣為接受的對四維時空的數學表述方式。那麼基於四維的黎曼時空，最大的直觀變化是：時間成為了一個維度，時間和空間成為不可分割且相互影響的一部分。於是在黎曼空間中，常見的函數形式成為了：τ=f(xu)。而且在黎曼時空中，有了固有時間（proper time，τ）和坐標時間的區別（coordinate time，t或者x4類似的描述），有了時空變化對時間流逝產生影響的影子。且固有時間代替坐標時間來計算四維速度，這與我們直觀中的經典力學中的速度概念也不一樣。
在引入黎曼時空的同時，愛因斯坦也同時將「張量」（tensor）的概念引入到物理學中。什麼是張量？張量可以滿足一切物理定律與坐標系選擇無關的特性，且符合愛因斯坦提出的等效原理：物理定律在任何參考系中都具有相同的形式。等效原理是廣義相對論的最基礎性的假定，即使到了現在，對等效原理的證明仍然是天文學或者物理學中的前沿熱點問題。而張量正好滿足了等效原理的要求，於是在向最終場方程確定的過程中，張量也加入了進來。於是黎曼張量guv（或者叫度規張量，廣義相對論中的習慣稱呼）加入到廣義相對論中。於是最簡單的測地線方程（兩階微分）有如下的形式：
其中Γ就是大家或許熟悉的克里斯多福符號（Christoffel symbol），是一個度規張量的函數。當然當Γ=0的時候，測地線方程就簡單的轉化成了經典牛頓力學的勻速運動方程，因為加速度a=0。為了更好的描述時空的彎曲特性，基於克里斯多福符號和黎曼度規張量，愛因斯坦又引入了大家所熟悉的愛因斯坦張量（Ricci張量的組合函數），用來描述時空的彎曲特性
愛因斯坦張量且愛因斯坦張量的微分形式滿足
不管愛因斯坦場方程最終的數學描述多麼的繁雜、多麼的先進，但是在一定的物理條件下（比如弱引力、低速的歐式時空中），愛因斯坦場方程的化簡形式必須滿足經典的牛頓力學的數學描述形式，因為平直時空中的牛頓物理是經過驗證而正確無誤的。
而在牛頓力學中，能量和動量是兩個最基本也是最為廣泛應用的物理量，所以此處使用了廣義相對論中大家熟悉的一個張量的描述名詞：能量-動量張量，表示了能量和動量在時空中的密度和通量，通常用數學符號Tuv來描述，比如T00代表了代表了對物質密度的描述。由於經典的牛頓物理中，存在著大家熟知的能量守恆和動量守恆，所以加入彎曲時空特性的愛因斯坦場方程也必須要滿足能量守恆和動量守恆，至少在向平直時空過度的情況下是必須如此的
與愛因斯坦張量的微分形式比較，於是推測有
，
寫成大家熟悉的方式，就是：
很抱歉，如果要將其中的參數k確定下來的話，需要進行一定的度規張量的展開，我沒有辦法將他們在簡單的數學下解釋清楚。但是看看上面的公式，就是大家最為熟悉的愛因斯坦場方程的最終形式。
當然，由於愛因斯坦場方程的推導帶有了太多哲學思辨的色彩，並不是嚴格意義上的數學推導，所以在考慮到宇宙時空的穩定（靜止的還是膨脹的？）情況時，愛因斯坦在後來的時候，又在場方程的左邊添加了宇宙常數項
場方程的左邊添加常數項仍然是一個張量項，沒有改變方程的物理性質。換句話說，愛因斯坦場方程具有完全的開放性，如果能夠找到合適的張量描述參數，並且簡化形式不違背經典牛頓力學的情況下，可以在成方程中添加任何物理量的數學張量描述！
具體的論述，到此為止，寫的誠惶誠恐，也寫的滿頭大汗！簡單的說，場方程的左邊代表了時空的彎曲情況，由愛因斯坦張量來描述（Ricci張量的組合函數），場方程的右邊代表了時空中的能量（或者物質質量分布）情況。當然，由於場方程的推導有著濃厚的哲學思辨的色彩，我們現在難以分辨：質量和能量分布是否是時空彎曲的主因？還是由於時空的彎曲導致了能量或者質量的聚集？
寫到最後，心胸中除了虔誠的「頂禮膜拜」這四個字，再也找不到其它的合適詞語用來表達對愛因斯坦和廣義相對論的欽佩之情了!