今年是廣義相對論創建100 周年，也是狹義相對論創建110 周年。廣義相對論是「關於時間、空間和引力的理論」。這一理論可以看作是狹義相對論的推廣，也可以看作是萬有引力定律的發展。它認為萬有引力不是一般意義上的力，而是一種幾何效應，是時空彎曲的表。我們將在本文中介紹愛因斯坦如何通過物理思想的多次突破，創建起相對論特別是廣義相對論的大廈，並指出愛因斯坦是相對論的唯一創建者。
1.1 狹義相對論的創建
我們首先來回顧一下狹義相對論的創建。1905 年，年僅27 歲的愛因斯坦發表了《論運動物體的電動力學》一文，構建起狹義相對論的大廈。
愛因斯坦的理論建立在兩條公理的基礎之上，即「相對性原理」和「光速恆定原理」。
「相對性原理」是說，物理規律在所有慣性系中都是相同的。
「光速恆定原理」則分兩層意思。第一層是「約定」(或者說規定)在任一慣性系裡，真空中的光速處處各向同性，即處處往返光速相同。利用這一約定，愛因斯坦校準了靜置於空間各點的時鐘，使它們「同時」或「同步」，從而在全空間定義起統一的時間。在一個慣性系中定義統一的時間，是探討相對論的前提。
第二層意思就是我們通常所說的「光速不變原理」：真空中的光速與觀測者相對於光源的運動無關。注意，「光速不變原理」強調的不是空間各點光速均勻各向同性，甚至是一個常數，而是強調在所有慣性系中測量時，真空中的光速都是同一個常數c，與這些慣性系的相對運動無關。
在「 相對性原理」 和「 光速不變原理」 的基礎之上，愛因斯坦嚴格推出了狹義相對論的核心公式洛倫茲變換，並進一步嚴格推出「同時」的相對性，動尺收縮(即洛倫茲收縮)，動鍾變慢，速度迭加公式，質量公式，質能關係等相對論效應，建立起狹義相對論的完整大廈。
在歷史上，洛倫茲收縮公式和洛倫茲變換公式都出現在愛因斯坦提出相對論之前。但是，洛倫茲對上述公式的理解是不正確的，而且洛倫茲認為存在以太和絕對空間，放棄了相對性原理。
龐加萊在相對論發表之前，曾經猜測真空中的光速是一個常數，而且可能是極限速度。他還建議通過「約定」光速各向同性來校準兩地的時鐘。愛因斯坦看過龐加萊的有關文章，從他創建相對論的文章中不難看出龐加萊對他的影響。不過，龐加萊沒有認識到「光速不變原理」。龐加萊雖然堅持了相對性原理，否定絕對空間的存在，但他仍認為存在以太。實際上，承認以太就等於承認存在優越參考系。所以龐加萊也沒有徹底跳出絕對時空觀的框架。
只有愛因斯坦既不承認絕對空間的存在，也不承認以太的存在，徹底地堅持了相對性原理。這可能與馬赫對他的影響有關。馬赫只是一個三流的物理學家，但他敢於挑戰權威，說牛頓不對。馬赫認為看不見的東西都不應該輕易承認，所以他否認牛頓的絕對時空觀，也否認以太的存在。馬赫認為一切運動都是相對的。相對論發表後，愛因斯坦高度評價馬赫對自己的影響。
愛因斯坦表示，自己堅持「相對性原理」是比較容易的事情。因為相對性原理存在已久，雖然洛倫茲等人主張放棄這一原理，但還是有不少學者(例如馬赫與龐加萊)一直在堅持「 相對性原理」。在他看來，真正困難的是提出「光速不變原理」。
圖1 創建狹義相對論時的愛因斯坦
愛因斯坦認為，自己的相對論與牛頓物理學的分水嶺不是「 相對性原理」，而是「光速不變原理」。「光速不變原理」完全是愛因斯坦一個人提出的。這一原理直接導致「同時的相對性」。「光速不變原理」和「同時的相對性」是與人們的日常生活觀念完全牴觸的，也是與伽利略變換不相容的。相對論發表以後很久，人們仍然覺得它難懂，主要就是思想跳不出「同時絕對性」的錯誤觀念。
應該說，在狹義相對論提出之前，洛倫茲、龐加萊等不少人都對相對論的創建做過鋪墊工作。但真正推開相對論大門的是愛因斯坦。他提出了「光速不變原理」，認識到了「同時的相對性」；他在放棄絕對空間的同時，放棄了以太，最徹底地堅持了相對性原理。也只有他看清了新理論的本質，認識到相對論實際上是一個時空理論。
洛倫茲起初反對愛因斯坦的理論，為了區分自己的理論與愛因斯坦的理論，他給愛因斯坦的理論起名為「相對論」。不過，後來洛倫茲還是承認並接受了相對論。
龐加萊則至死也沒有承認相對論，他對愛因斯坦的評價也不算高，這可能與他去世較早，沒有來得及深入思考相對論有關。
1.2 狹義相對論的困難
狹義相對論的成就，逐漸被大多數物理學家所接受。但是，也存在一些質疑和批評。不過，愛因斯坦很清楚，這些批評意見都是由於未能看懂他的「相對論」而產生的。議論的問題其實都不是問題。
那麼，他的「相對論」到底存不存在問題呢？愛因斯坦心裡明白，存在問題，而且存在根本性的大問題，但不是那些批評者談論的問題。
愛因斯坦認為，他的「相對論」存在兩個大困難：一個與慣性系的定義有關，另一個與萬有引力有關。
愛因斯坦的相對論，建立在「慣性系」的基礎之上，但是，在他的新理論中，慣性系卻無法定義了。
牛頓的經典物理學不存在這一困難。牛頓理論認為，存在一個絕對空間，凡是相對於絕對空間靜止或作勻速直線運動的參考系就是慣性系。愛因斯坦的相對論不承認存在絕對空間，認為所有的運動都是相對的。這樣一來，牛頓理論中定義慣性系的方法就不能用了。
似乎可行的辦法是用牛頓第一定律來定義慣性系：一個不受力的質點，如果在參考系中保持靜止或作勻速直線運動，這一參考系就可定義為慣性系。然而，萬有引力是無處不在而且不能屏蔽的，無法讓質點不受到萬有引力的作用。況且，宇宙間也許還存在其他未知的、肉眼看不見的作用力。
怎麼才能判定一個質點不受力呢？最好的方法是預先設定一個慣性系。如果質點在其中保持靜止或作勻速直線運動，就可以認為它不受力了。然而，用這樣的方式定義「不受力」，要求事先存在「慣性系」，而定義「慣性系」恰恰是我們需要解決的難題。我們陷入了無法解決的邏輯循環。定義慣性系要用到「不受力」這一概念，定義「不受力」又要用到慣性系這一概念。顯然，這樣的循環定義方式是不能接受的。
愛因斯坦的相對論建立在對慣性系的討論之上，現在，慣性系卻無法定義了。「相對論」的基礎似乎建立在了流沙之上。這可不是一個小困難。
另一個嚴重困難是萬有引力定律納不進相對論的框架。當時只知道兩種力，一種是電磁力，另一種就是萬有引力。麥克斯韋的電磁理論與相對論嚴格相符。但萬有引力定律卻與相對論矛盾。
愛因斯坦作了一些嘗試，試圖把萬有引力定律也納入相對論的框架，但嘗試都失敗了。愛因斯坦認識到，這也是一個嚴重問題。自然界一共只有兩種力，其中一種就與相對論不符，這個問題必須解決。
對這兩個困難的反覆思考，把愛因斯坦引向了廣義相對論的創建。
2.1 物理思想的第一次突破：廣義相對性原理
愛因斯坦的思想方式與眾不同，在重新定義慣性系的一些努力失敗之後，他很快就產生了新的想法：可不可以不要慣性系呢？在物理學中之所以要定義慣性系，是為了體現相對性原理。
愛因斯坦認為，慣性系本身不是最重要的，最重要的是表述物理規律的普遍性——相對性原理。於是他建議取消慣性系的優越地位，不去定義慣性系，而是把相對性原理加以推廣，從慣性系推廣到任意參考系，成為「廣義相對性原理」：物理規律在所有參考系中都相同。這樣一來，就避開了定義慣性系的困難。
圖2 創建廣義相對論時的愛因斯坦
但是，非慣性系中存在慣性力，例如轉動圓盤上的慣性離心力和科裡奧利力。如何處理慣性力也是一個問題。
愛因斯坦注意到，慣性力與一般力不同，它不起源於物體間的相互作用，因而也沒有反作用力。
那麼，慣性力如何起源呢？愛因斯坦想到了牛頓的水桶實驗。在這一理想實驗中，牛頓論證了絕對空間的存在，同時還論證了慣性力起源於物體相對於絕對空間的加速。我們把這一著名實驗簡述如下。
2.2 牛頓的水桶實驗
一個裝有水的桶，最初桶和水都靜止，水面是平的(圖3(a))。然後讓桶以角速度ω 轉動，剛開始時，水未被桶帶動，這時候，桶轉水不轉，水面仍是平的(圖3(b))。不久，水漸漸被桶帶動而旋轉，直到與桶一起以角速度ω 轉動，此時水面呈凹形(圖3(c))。然後，讓桶突然靜止，水仍以角速度ω轉動，水面仍是凹形的(圖3(d))。
在圖3(a)和圖3(c)中，水相對於桶都靜止，但水面在圖3(a)時是平的，在圖3(c)時是凹的。而在圖3(b)和圖3(d)中，水相對於桶都轉動，但水面在圖3(b)時是平的，在圖3(d)時是凹的。
顯然，水面的形狀和水與桶的相對轉動無關。水面呈凹形是由於受到慣性離心力作用的結果。慣性離心力的出現既然與水相對於桶的轉動無關，那麼與什麼有關呢？牛頓認為，與絕對空間有關。慣性離心力產生於水對絕對空間的轉動。牛頓認為，轉動是絕對的，只有相對於絕對空間的轉動才是真轉動，才會產生慣性離心力。推而廣之，加速運動是絕對的，只有相對於絕對空間的加速才是真加速，才會受到慣性力！通過水桶實驗，牛頓論證了絕對空間的存在。
2.3 物理思想的第二次突破：馬赫原理
馬赫否認存在絕對空間，認為一切運動都是相對的。這樣，他必須面對水桶實驗，對慣性力的起源給予另外的解釋。馬赫認為，沒有絕對空間，牛頓對慣性力起源的解釋是錯誤的。他推測，慣性力起源於物體間的相對加速，起源於作相對加速的物體之間的相互作用。
他認為，加速物體受到慣性力，是由於它相對於宇宙中的所有物質加速，這相當於該物體不動，整個宇宙的物質相對於它作反向加速。全宇宙的物質通過這種加速共同對該物體施加了「作用」，這種「作用」就是慣性力。
在水桶實驗中，水受到慣性離心力，是由於它相對於整個宇宙中的物質轉動，這相當於水不動，全宇宙的物質相對於水反向轉動，在這種相對轉動中，全宇宙的物質都對水施加了「作用」，這一作用的表現就是慣性離心力。如果水只相對於桶轉動，而相對於宇宙中的其他物質不轉，雖然桶對水也施加了影響，但桶的質量與整個宇宙的質量相比微乎其微，轉動的桶對水的「作用」也就微乎其微，所以這時水不會受到慣性離心力。
馬赫這種認為慣性效應起源於物體之間的相對加速，從而起源於物質間的相互作用的思想，被愛因斯坦稱為「馬赫原理」。馬赫原理並沒有嚴格的物理陳述，更沒有數學表達式，它只是一種定性的物理思想。
然而，正是馬赫的這一思想，給了愛因斯坦重要的啟示，引導愛因斯坦提出等效原理，並進而建立起廣義相對論的大廈。在廣義相對論取得巨大成功之後，愛因斯坦高度評價馬赫的這一思想，認為自己的廣義相對論具體體現了馬赫原理預期的效應。
不過，後來的深入研究表明，廣義相對論與馬赫原理並不一致。有趣的是，當時馬赫還活著。馬赫看到了狹義相對論，但據說沒有看到廣義相對論。馬赫斷然否認自己的思想與相對論一致，明確反對愛因斯坦的相對論。這一點令愛因斯坦十分遺憾。
然而，有一點可以肯定，馬赫認為「不存在以太和絕對空間，一切運動都是相對的」，這一思想引導愛因斯坦走上了創立狹義相對論的正確道路；馬赫認為「慣性效應起源於物質間相對加速產生的相互作用」的思想，又導致愛因斯坦猜測慣性力可能與萬有引力有相同或相似的根源，都起源於物質間的相互作用，從而引導愛因斯坦走上了創立廣義相對論的正確道路。所以，馬赫原理在歷史上的貢獻是應該肯定的。
2.4 引力質量與慣性質量
愛因斯坦還注意到慣性力的一個重要特點：慣性力與物體的慣性質量成正比。這個特點與萬有引力非常相似，萬有引力與物體的引力質量成正比。
在《自然哲學之數學原理》一書中，牛頓把質量定義為物體所含物質的多少。他說，質量就是物質的量，它與物體的重量成正比。這樣定義的質量，稱為引力質量(mg)。在這本書的另一處，牛頓又談到物體的質量與它的慣性成正比。他認為，質量又可以看作物體慣性的量度，這樣定義的質量，稱為慣性質量(mI)。
牛頓認為，沒有理由相信引力質量和慣性質量是同一個東西。
牛頓用單擺實驗檢測了二者是否有差別。實驗表明，在千分之一的精度範圍內引力質量與慣性質量相等。
在愛因斯坦那個時代，匈牙利物理學家厄缶(Eötvös)，用扭擺實驗在10-8的精度之內也沒有檢測到引力質量和慣性質量的差異。廣義相對論發表以後，美國的迪克做到10-11的實驗精度，俄羅斯的布拉金斯基做到10-12的實驗精度，都證明了引力質量和慣性質量嚴格相等。在愛因斯坦那個時代，精度最高的是厄缶實驗。
愛因斯坦注意到，實驗表明引力質量與慣性質量精確相等。他又想起了馬赫對自己的啟示：慣性力與萬有引力相似，都起源於物體間的相互作用。
愛因斯坦終於認識到，「慣性」問題應該和「引力」問題合在一起解決，狹義相對論所遇到的兩個困難可能是同一個困難!
2.5 物理思想的第三次突破：等效原理
這時，愛因斯坦不僅認識到引力與慣性力的相似性，而且認識到「引力質量與慣性質量相等」是經過嚴格實驗檢驗的結論。經過反覆思考後，他決定把這一結論往前推進一步，提出等效原理：慣性場與引力場局域等效。這就是說，在無窮小時空範圍內，人們無法區分引力與慣性力。
愛因斯坦關於升降機(電梯)的思想實驗，最清楚地表達了他的等效原理思想。設想一個觀測者處在一個封閉的升降機內，得不到升降機外部的任何信息。當他看到機內的一切物體都自由下落，下落加速度g 與物體的大小及物質組成無關時(此時，他自己也感受到重力Mg，M是他自身的引力質量)，他無法斷定自己處在下列兩種情況中的哪一種：
(1) 升降機靜止在一個引力場強為g 的星球的表面；
(2) 升降機在無引力場的太空中以加速度a 運動，而a 在數值上恰好等於重力加速度g ，他因而感受到場強為g的慣性力。
當觀測者感到自己和升降機內的一切物體都處於失重狀態時，他同樣無法斷定自己處在下列兩種情況中的哪一種：
(1) 升降機在引力場中自由下落；
(2) 升降機在無引力的太空中作慣性運動。
造成上述現象的原因是，無法用任何物理實驗來區分引力場和慣性場，即等效原理造成了上述不可區分性。
然而，引力場與慣性場還是有不同之處，它們在有限大小的時空範圍內並不等效。例如，由於星球是球體，靜置於星球表面的升降機，其內部的引力線有向星球中心匯聚的趨勢，而在星際空間加速的升降機，其內部的慣性力線則是平行的。只要升降機不是無窮小，探測這些力線的靈敏儀器就可以區分這兩種情況。
所以等效原理是一個局域性原理。也就是說，引力場與慣性場僅在無窮小時空範圍內不可區分。
等效原理告訴我們，引力場中一個自由下落的、無自轉的無窮小參考系(自轉會產生科裡奧利力)，可以看作慣性系。
等效原理、馬赫原理和廣義相對性原理，形成了愛因斯坦新理論的物理基礎。
2.6 物理思想的第四次突破：引力可能是幾何效應
等效原理還進一步告訴我們，當只有引力場與慣性場存在時，任何質點，不論質量大小，在時空中都會描出同樣的曲線，自由落體實驗已表明了這一點。再如，在真空中斜拋金球、鐵球和木球，只要拋射的初速和傾角相同，這三個球都將在空間描出相同的軌跡。
這就是說，質點在純引力和慣性力作用下的運動，與它的質量和成分無關。於是，愛因斯坦做出了物理思想上的又一個重大突破，他大膽猜測，引力效應可能是一種幾何效應。萬有引力不是一般的力，而是時空彎曲的表現。由於引力起源於質量，他猜測時空彎曲可能起源於物質的存在和運動。
如何把時空幾何與運動物質聯繫起來呢? 愛因斯坦在建立新理論的過程中感到自己的數學知識欠缺，他需要新的數學工具。於是，他求助於自己的大學同學格羅斯曼。那時格羅斯曼已是大學的數學教授，應愛因斯坦之求，格羅斯曼查閱了一批文獻，得知當時一些義大利人正在研究的黎曼幾何和張量分析，也許對愛因斯坦有用，就把這一情況告訴了他。
2.7 奧林匹亞科學院的重要影響
愛因斯坦早就對黎曼幾何有一點定性的了解。他在發明專利局工作期間(1902—1905 年)，曾與幾位熱愛科學與哲學的好友組織了一個叫做「奧林匹亞科學院」的小組。
這是一個自由讀書與自由探討的俱樂部。小組的成員都具有大學文化水平，他們工作單位不同，專業背景也不同，有學物理的，有學數學的，有學哲學的，還有學工程技術的。這幾個年輕人利用休息日或下班時間，一邊閱讀一邊討論，內容海闊天空，以哲學為主(特別是與物理有關的哲學)，也包括物理、數學和文學。
他們充滿熱情地閱讀和討論了許多書籍，其中包括馬赫的《力學史評》，這本書對牛頓的絕對時空觀進行了猛烈的批判。馬赫的見解深刻地影響著年輕的愛因斯坦。他不懼權威的批判精神鼓舞著年輕的愛因斯坦。愛因斯坦曾多次強調，他提出狹義與廣義相對論都與馬赫的影響有關。
他們還閱讀和討論了龐加萊的名著《科學與假設》，在此書中，龐加萊簡單提到過黎曼幾何。這本書曾引起愛因斯坦和他的朋友們的極大興趣。現在發現這本書中提到的內容居然有可能與自己研究的問題有關，愛因斯坦十分高興，於是他愉快地接受了格羅斯曼的忠告，開始關注和學習黎曼幾何。
3.1 探究彎曲的時空
當年，黎曼在創建描述彎曲空間的新幾何時，曾猜測真實的空間有可能是彎曲的。現在愛因斯坦產生了與當年黎曼類似的猜想。而且，此時的愛因斯坦已經掌握了大量的物理知識，創建新理論的條件已經成熟，這些都是當年黎曼不可能具備的。
在狹義相對論發表之後，愛因斯坦大學時代的老師、數學家閔可夫斯基把時間看作第4 維空間，把相對論寫成了4 維時空(閔可夫斯基時空)的形式。現在，愛因斯坦可以在4 維時空的框架下發展自己的新理論。
起初，愛因斯坦與格羅斯曼合作，學習和掌握黎曼幾何，並尋找聯繫物質和時空幾何的基本方程——場方程。他們嘗試寫出了一些形式的方程，但都有重大缺陷。愛因斯坦到德國後，又與希爾伯特探討。希爾伯特不愧是一位數學大師，愛因斯坦與他作了短時間的探討，幾個月後愛因斯坦就給出了場方程(廣義相對論的核心方程)的正確形式，建立起他的新理論——廣義相對論。
新理論克服了舊理論的兩個基本困難，用廣義相對性原理代替了狹義相對性原理，並且包容了萬有引力。愛因斯坦認為，新理論是原有相對論的推廣，因此稱其為廣義相對論，而把原有的相對論稱為狹義相對論。
應該指出，希爾伯特在與愛因斯坦討論後不久，也幾乎同時得到了類似的場方程。但希爾伯特只是在數學形式上得到了這個方程，並不了解它的深刻物理內容，而且，他對所得到的場方程的物理解釋並不完全正確。
愛因斯坦與希爾伯特在1915 年底形成了競爭。愛因斯坦關於廣義相對論的論文是11 月25日完成並投稿的，於12 月5 日發表，文中給出了正確的場方程。希爾伯特的有關論文是11 月20日完成並投稿，1916 年3 月1 日刊出的。希爾伯特的論文投稿時間比愛因斯坦早5 天，但稿中沒有給出正確的場方程。他在修改清樣期間，看到了愛因斯坦的論文，就在自己的論文中補入了正確的廣義相對論場方程。此外，希爾伯特投稿前曾有一封給愛因斯坦的信，祝賀他算出了水星軌道近日點進動的正確值。
可見，愛因斯坦得到廣義相對論場方程比希爾伯特要早。不過場方程的數學形式十分複雜，如果沒有希爾伯特的幫助和啟發，恐怕愛因斯坦很難在1915 年底找到場方程的正確形式，並完成這一理論。
希爾伯特曾在給愛因斯坦的信中談到「我們的理論」，愛因斯坦對此很不高興，回信說「這是我的理論，什麼時候成了'我們的理論'了？……」。希爾伯特後來也承認，愛因斯坦是廣義相對論的唯一創建人。這個不愉快的小插曲沒有影響兩人後來的友誼。
3.2 走向廣義相對論
實際上，廣義相對論的建立是一個漫長的過程。最初，愛因斯坦企圖把萬有引力納入狹義相對論的框架，幾經失敗使他認識到此路不通，反覆思考後，他產生了等效原理的思想。
愛因斯坦曾回憶這一思想產生的關鍵時刻：「有一天，突破口突然找到了。當時，我正坐在伯爾尼專利局辦公室裡，腦子忽然閃現了一個念頭，如果一個人正在自由下落，他絕不會感到自己有重量。我吃了一驚，這個簡單的思想實驗給我的印象太深了。它把我引向了引力理論……」。
愛因斯坦1905 年開始研究萬有引力，1907 年提出等效原理，1911 年得到光線在引力場中彎曲的結論，1913 年與格羅斯曼一起把黎曼幾何引進引力研究，1915 年與希爾伯特討論，並在當年找到了場方程的正確形式。除了在數學上曾得到希爾伯特和格羅斯曼的有限、然而十分可貴的幫助之外，愛因斯坦幾乎單槍匹馬奮鬥了10 年，才把廣義相對論的框架大體建立起來。
1905 年發表狹義相對論時，有關的條件已經成熟，洛倫茲、龐加萊等一些人，都已接近狹義相對論的發現。
而1915 年發表廣義相對論時，愛因斯坦則遠遠超前於那個時代所有的科學家，除他之外，沒有任何人接近廣義相對論的發現。所以愛因斯坦自豪地說：狹義相對論如果我不發現，5 年之內肯定會有人發現；廣義相對論如果我不發現，50年之內也不會有人發現。
3.3 物質告訴時空如何彎曲
廣義相對論實際上是一個關於時間、空間和引力的理論(圖4)。狹義相對論認為時間、空間是一個整體(四維時空)，能量、動量是一個整體(四維動量)，但沒有指出時間—空間與能量—動量之間存在關係。在狹義相對論中，時空與物質互不影響，四維時空是平直的。廣義相對論則進一步指出時空與物質之間存在本質聯繫，相互影響：能量—動量的存在(也就是物質的存在)，會使四維時空發生彎曲；彎曲的時空又會反過來影響物質的運動。廣義相對論認為，萬有引力並不是一般的力，而是時空彎曲的表現！如果物質消失，時空就回到平直狀態。
圖4 廣義相對論認為，物質與時空之間存在關係，相互影響
愛因斯坦給出了廣義相對論的基本方程，這個方程被稱為「愛因斯坦場方程」，
式中常數κ 與萬有引力常數G 有關：
其中c 是光速。愛因斯坦場方程是張量方程，式中帶有下角標字母的Rμν，Tμν，gμν 分別為裡奇張量、能量—動量張量和度規張量。它們各有兩個角標μ 和ν，表示都是二級張量。μ 和ν 取值範圍為0，1， 2， 3 。從排列組合可知，每個二級張量各有16 個分量，由於它們都是對稱張量，故獨立分量各有10 個。R 為曲率標量，只有一個分量。裡奇張量、曲率標量和度規張量都是幾何量，描述時空的彎曲。能量—動量張量則表示物質(能量和動量)的分布。
愛因斯坦之所以採用張量來表述廣義相對論，是因為張量方程在坐標變換下形式不變，他認為這符合自己的廣義相對性原理：物理規律不依賴於坐標系的選擇。我們不想在此處做過於專門的討論，感興趣的讀者可參閱任何一本介紹廣義相對論的書籍。
用愛因斯坦場方程，可以精確地算出能量—動量的存在如何影響時空的彎曲。該方程左端是描述時空曲率的量，右端是描述能量—動量的量。實際上，這是由10 個二階非線性偏微分方程組成的方程組，非常難解。
3.4 時空告訴物質如何運動
相對論把四維時空中的曲線稱為世界線。廣義相對論認為，萬有引力不是一般的力，而是時空彎曲造成的幾何效應。質點在萬有引力作用下的運動(例如地球上的自由落體，行星的繞日運動等)，沒有受到力，是彎曲時空中的自由運動，即慣性運動。它們在時空中描出的世界線，雖然不是直線，卻是直線在彎曲時空中的推廣——「測地線」。粗略地說，「測地線」就是「短程線」，即兩點之間的最短線或最長線(注意，相對論中把最短線和最長線都稱為「短程線」)。當時空恢復平直時，測地線就成為通常的直線。
需要說明的是，在通常的平直空間或正曲率空間中，兩點之間存在最短線。但在相對論的四維時空中，兩點之間有的有最短線，有的卻沒有最短線，只有最長線。例如自由質點描出的測地線，實際上是兩點間最長的世界線，而不是最短線。
注意，這裡所說的測地線是四維時空中的曲線。例如行星運動的測地線，不是指行星在三維空間中的橢圓軌道，而是指圖5 中所示的行星在四維時空中描出的螺旋狀世界線。圖5 是在相對於太陽靜止的參考系中繪出的時空圖。太陽描出的世界線是一條與時間軸平行的直線，而行星繞日運動的世界線則是一條螺旋線。
圖5 四維時空中行星繞日的運動
愛因斯坦採用數學家們已經得到的測地線方程，作為決定彎曲時空中自由質點如何運動的「運動方程」：
式中s 是測地線的弧長， Γαμν 稱為「聯絡」，描述引力場強或慣性場強。
場方程表示「物質告訴時空如何彎曲」，運動方程則表示「時空告訴物質如何運動」。愛因斯坦初建廣義相對論時，認為廣義相對論的基本方程有兩個：場方程(1)和運動方程(2)。後來，愛因斯坦和蘇聯的福克分別證明，從場方程可以推出運動方程，因此，廣義相對論的基本方程只有一個——場方程(1)。
另外，在他們的證明中還得到一個值得注意的副產品：場方程中作為場源的質量，在推出的運動方程中，同時出現在慣性質量和引力質量兩個位置上。這告訴我們，在廣義相對論的理論框架中，引力質量和慣性質量是同一個東西。
愛因斯坦在發表廣義相對論理論的同時，提出了3 個可以驗證這一理論的實驗。這3 個觀測實驗都證實了廣義相對論的正確。
4.1 引力紅移
按照廣義相對論，時空彎曲的地方，時間的進程會變慢。太陽附近的時空比地球附近的時空彎曲得厲害，所以那裡的鐘會比地球上的鐘慢。
愛因斯坦認為，原子的每一根光譜線，都對應原子裡的一個鍾。光譜線的頻率，就反映這個鐘的速率。由於時間變慢的影響，太陽表面氫原子的光譜線的頻率會比地球上氫原子的相應譜線的頻率小。也就是說，太陽表面的原子光譜會發生紅移。
天文觀測證實了這一紅移現象。而且觀測到的紅移值與廣義相對論依據時間變慢算出的理論值相符。
對於遠方的白矮星的引力紅移的觀測，以及在地面上利用穆斯堡爾效應對引力紅移進行的檢驗，也都與廣義相對論的預言相符。
4.2 水星軌道近日點的進動
克卜勒第一定律指出，行星繞日的軌道是一個橢圓。牛頓力學嚴格地算出了這一封閉的橢圓軌道。然而，天文觀測早就發現，看到的行星軌道都不是封閉的橢圓。這些橢圓軌道的近日點都在不斷向前移動。這一現象在天文學上稱為軌道近日點的進動(圖6)，以離太陽最近的水星最為顯著，進動值達每100 年5600.73 弧秒。天文學家們在排除了各種天文效應的影響(每百年5557.62 弧秒)之後，水星軌道仍有每100 年43 弧秒的進動得不到解釋。
圖6 行星軌道近日點的進動
愛因斯坦在發表廣義相對論之前就知道這種情況。他希望自己的新理論能夠給出這一進動值。在愛因斯坦尋找場方程的艱苦努力中，這一進動值一直是引導他尋找正確場方程的燈塔。
他的廣義相對論果然精確地算出了這一進動值。愛因斯坦高興極了，在給希爾伯特、洛倫茲等朋友的信中，他興奮地寫道：「我的新理論算出了水星軌道的正確進動值，我高興極了，你們知道我有多高興嗎？我一連幾個星期都高興得不知怎麼樣才好。」
水星軌道近日點進動的計算值與觀測值如此精密地相符，是對廣義相對論最有力的支持。用牛頓力學無論如何算不出這一進動值。
4.3 光線偏折
由於太陽附近時空彎曲比較厲害，遠方恆星射過來的光在途經太陽附近時，會發生彎曲。按照牛頓理論，路過太陽附近的光子，由於萬有引力的吸引，也會落向太陽，光線也會發生彎曲。不過用牛頓理論算出的光線偏轉角只有廣義相對論預言值的一半。
英國天體物理學家愛丁頓，利用1919 年發生日全食的機會，首次對光線偏折效應進行了觀測。他率領一個觀測隊到了非洲西部的普林西比，他的助手戴森率領一個隊到了巴西。愛丁頓觀測到的偏轉角是1.61 弧秒，戴森的觀測值是1.98 弧秒，都接近廣義相對論預言的1.75 弧秒，遠離牛頓理論預言的0.875 弧秒。愛丁頓宣布，觀測支持了愛因斯坦的廣義相對論。
這個消息傳到德國時，愛因斯坦平靜地說，「我從來沒想過可能會是別的結果。」
此後，天體物理界又對太陽附近的光線偏折作過多次觀測，結果都支持廣義相對論。
到目前為止，「水星軌道近日點的進動」和「光線偏折」仍是支持廣義相對論的兩個最重要的觀測證據。
除去上述3 個愛因斯坦最早預言的實驗之外，後來還提出了「雷達回波延緩」、「引力波探測」等直接或間接驗證廣義相對論的實驗。
4.4 雷達回波延緩
從地球射出的雷達波，擦過太陽表面飛向其他天體(例如水星或金星)，然後再反射回來，由於時空彎曲將造成時間延緩。觀測實驗表明，測得的時間延緩值與廣義相對論預言的一致。1977年利用水手Ⅵ號和水手Ⅶ號人造行星做的這一實驗，精度已達到很高。
這是一個直接觀測廣義相對論預言的時間延緩效應的實驗。
4.5 引力波
萬有引力定律中，引力是瞬時傳播的，不需要時間。廣義相對論則預言，時空彎曲效應(即引力場)以光速傳播。如果構成引力源的物質作非球對稱運動，則引力源附近的時空彎曲情況將向四面八方傳播，形成引力波。
廣義相對論建立不久，愛因斯坦就預言有引力波存在。此後許多相對論專家做過這方面的理論計算和觀測探索。雖然從理論角度看，引力波應該存在，但至今沒有人直接觀測到引力波。
1978 年，美國天體物理學家泰勒和休斯宣布，他們找到了引力波存在的間接證據。他們通過對脈衝雙星PSR1913+16的長期觀測，發現這對緻密雙星的公轉周期每年減少約萬分之一秒。如果認為這對雙星的公轉會產生引力輻射，則算出的輻射能損耗恰好可以使公轉周期每年減少萬分之一秒。他們的理論計算與精密的天文觀測相符。學術界認為，這是引力波存在的一個間接但卻十分有力的證據。他們由於對脈衝雙星PSR1913+16的研究獲得了1993 年的諾貝爾物理獎。不過，可能是為了慎重起見，諾貝爾獎評委會在陳述頒獎原因時，沒有明確提到他們發現引力波。
對引力波的直接和間接觀測的努力，目前仍在進行中。
100 年來，廣義相對論得到了實驗觀測的支持，並在天文學、宇宙學、黑洞和時空理論等方面得到了應用。狹義相對論則更是精確而廣泛地應用到了物理學的各個領域中。
然而， 就相對論理論本身而言， 100 年來卻沒有出現大的突破。狹義相對論與廣義相對論的大廈， 依然是當年愛因斯坦創建的大廈。
我們想強調，與量子論的創建有眾多位締造者不同，相對論的締造者是唯一的。也就是說，愛因斯坦是狹義相對論和廣義相對論的唯一創建者。
我們還想強調，在愛因斯坦創建相對論的過程中，邏輯思維和數學考量都起過重要作用，但真正起決定作用的是物理思想的創新和飛躍。
本文選自《物理》2015年第10期
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