科普:從廣義相對論的場方程出發對哈勃定律的推導!

2021-01-13 水生
大神愛因斯坦

廣義相對論的出現引導著現代天文學飛速的發展，但是廣義相對論的出現，也成為了想要入門天文學的夢靨！要想完全的理解廣義相對論，不是我們這些平凡的科學工作者能夠做到的，我們能做到的僅僅是基於對廣義相對論的淺顯理解，嘗試著能否利用廣義相對論去解釋一些天文的觀測結果。如果能夠嘗試著基於廣義相對論去推測天文學中可能出現的觀測結果，能做到這一步，就已經是大牛級別的天文科研工作者了，已經是我輩仰望的存在！

儘管我們對廣義相對論的理解還極其的淺顯，還僅僅停留在數學推導的層面，距離從哲學或者物理學層面去接受廣義相對論，還極其的遙遠。但這不妨礙我們通過廣義相對，去驗證或者去推算一些已經存在了超過半個世紀的天文觀測結果，比如今天要討論的哈勃定律。當然，據說天文學會給她改名了，現在應該稱為哈勃-勒梅特定律，但是從最新的文章中讀到的還都是hubble law，所以還是簡單的稱之為哈勃定律，至少能省下不少的文字空間。

著名天文學家Hubble

哈勃定律的內容：星系遠離地球的速度正比於星系的距離，數學表達式為：v=HD，其中H是比例係數，即描述宇宙膨脹速率的哈勃常數。

速度距離關係

那麼讓我們嘗試著，看看能否從廣義相對論中推導出哈勃定律？非常有趣的一個話題！

大神愛因斯坦

先看看，位於距離r處的星系的移動速度V，按照物理的定義，應該有V = dr/dt （一個很簡單的關於速度的微分函數）。那麼怎麼將參數r和宇宙的膨脹聯繫到一起呢？需要簡單的論述一下廣義相對論中的黎曼空間幾何，或或者從最簡單的弗裡德曼度規方程開始說起，如下，

弗裡德曼度規方程

很簡單的由dt=0（不同兩處的時間一致，故dt=0），得到共動距離（comoving distance）rM如下：

共動距離rM和物理距離dp的關係

於是很簡單的，我們觀測的物理距離dp處的遙遠星系的速度如下，

速度的表達，點代表對時間的微分

此處，請記得，共動距離r並不依賴於時間，所以r在上等式中是常數。那麼還記得宇宙學中的哈勃參數的定義嗎？，如下，

哈勃參數的定義

之所以，稱之為哈勃參數，而不是哈勃常數，是因為這是一個隨時間變化的量。嗯，將哈勃參數放入到上上等式中，於是得到：

哈勃定律

不錯，這就是我們常見的哈勃定律的表達形式。於是，哈勃定律，從廣義相對論中明確的推導出來！

嗯，今天又完成了一次從廣義相對論向觀測結果的簡單推導！加油，希望可以對廣義相對論的理解能更加的深刻一些！

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  • 黑洞源於廣義相對論,但愛因斯坦曾經卻否認黑洞的存在,為什麼?
    另一種是直接通過理論推導出某種事物的存在，然後再去尋找和發現它。黑洞無疑屬於後者。對於今人而言，黑洞已經沒有過往那麼神秘，我們不僅通過觀測發現了黑洞的存在，更是取得了人類歷史上首張黑洞照片。但在人類真正觀測並取得黑洞照片之前，黑洞便已經從理論中誕生，而孕育黑洞的理論就是愛因斯坦所提出的廣義相對論。
  • 什麼是廣義相對論?通俗易懂,了解牛頓到底錯在哪裡了
    廣義相對論和萬有引力廣義相對論主要論點是質量本身會導致時空彎曲。一個物體的質量越大，它周圍的空間就越扭曲。它的場方程描述了質量與空間曲率和時間膨脹之間的關係。它是基於由黎曼幾何和非歐幾裡得幾何等一系列計算，去確定物體的運動方程，這是一個動力學轉化為運動學的方程，最後的描述還是由運動學方程所決定的。
  • 廣義相對論能證明萬有引力定律是錯誤的嗎?
    牛頓的萬有引力定律當然是沒有錯的，不然我們現在也就不會學這個理論。只是這個理論不能完全反映深刻的宇宙規律，它有一定的適用範圍。在17世紀，牛頓從克卜勒行星運動三大定律中推導出了萬有引力定律，他認為物體被吸引在地球上以及宇宙中的天體運動都是受到引力的支配。當年海王星的發現就是通過萬有引力定律計算出來的，而且現在的火箭發射也都是利用這個理論，所以這個牛頓的引力理論是非常成功的。不過，萬有引力定律只能適用於弱引力場，而在強引力場中會失效。
  • 偉大的廣義相對論場方程,卻讓愛因斯坦說犯了一生中最大的錯誤
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