不知道大家小的時候是不是都聽過這樣一個故事：
相傳，西洋棋起源於古印度，是由一位名叫西薩·班·達依爾的宰相發明的。
當時的舍罕王打算重賞西洋棋的發明者，於是宰相在國王面前提出請求：「陛下，請您在這張棋盤的第一個小格內賞我1粒麥子；第二個小格內給2粒，第三格內給4粒……照這樣下去，每一格都比前一個小格加一倍。陛下啊，把這樣擺滿棋盤上所有格（共64格）的麥粒，都賞給您的僕人吧！」
國王慷慨地答應了宰相的要求，計數麥粒的工作很快就開始了。一袋又一袋的麥子被扛到棋盤前，但是麥粒數一格接一格增長得越來越迅速，國王很快就發現，即使拿出全印度的小麥，也無法兌現他對宰相許下的諾言！
那麼這位宰相到底要求國王賞賜給他多少粒麥子呢？用中學數學所學的方法就可以算出，共需18,446,744,073,709,551,615個麥粒！
這個數字究竟有多大呢？
根據麥粒的重量，近似估算的結果大約為兩千多億噸，而即使是農業現代化技術高速發展的現在，全世界小麥的年產量也不過數億噸而已！
雖然這個故事的真假已經無從考證，但是由它透露出的數學的神奇與宏大，無疑震撼了我們的心靈，這一令人驚嘆的結果背後究竟隱藏著怎樣的原理呢？
接下來，就讓我們一起進入到今天要介紹的重點——「指數爆炸」。
1
宇宙中放不下的紙
為了更形象地體現這一現象的威力，人們還提出了許多「國王與麥粒」故事的「變體」。
例如，一張厚度為0.1mm的紙，通過不斷對摺使厚度成倍增加，對摺51次後，其厚度便可達到2.25億千米，約為火星與太陽的距離。
而當對摺次數達到103次時，其厚度已經超過了930億光年，這是目前可觀測宇宙的直徑，也就是說，可觀測宇宙內已經放不下這張紙了！
紙的厚度與對摺次數正好滿足指數增長的規律，其增長速度如爆炸般驚人，相信大家也已經從上面的兩個小故事中體會到「指數爆炸」的威力了。
當然，上文說的都只是純數學上的計算，在實際實驗操作並不可行。有人做過實驗，一張紙對摺7次以上就已經非常困難了。
現代指數的概念是數學家笛卡爾在1637年引入的，他為乘方數設計了專門的記號系統，即指數函數。
所謂「指數爆炸」也並不是真正的爆炸，而是指計算過程中，指數函數值的「爆炸性」增長。
2 無所不在的「指數爆炸」
在天文，測量，航海，計算機和其他實用數學的分支中，常用到指數函數和它的各種性質，尤其是計算機編程領域，我們在解決問題時，經常會用到指數函數及其相關函數。
這時就要格外注意了，因為一旦處理不好，該問題在解決過程中，我們需要計算的數字很可能會膨脹到難以計算的地步。
相反，如果「指數爆炸」這一數學現象能夠得到合理的利用，也可以大大減少計算步驟，成為幫助我們解決問題的利器。
>>>>密碼越長就越安全？
我們在註冊新的帳戶或者進行密碼修改時，密碼設置那一欄的旁邊經常會提示我們所設密碼的安全程度。
隨著密碼長度和所含數字、字母、符號種類的增加，密碼的安全係數也會越來越高，這背後蘊含的原理就可以利用我們前面提到的「指數爆炸」來解釋。
我們現在所使用的密碼，是使用俗稱「密鑰」的隨機字節流來進行加密的。
在加密算法沒有漏洞的情況下，要想破解密碼就必須「一個一個」地進行嘗試，即列出與密鑰長度相同的字節流，與密碼逐一進行比對，直到找到正確的密鑰，這種密碼破譯法又被稱為「暴力破解」。
那麼密碼的長度又是如何影響密碼的安全性的呢？
我們假設密碼全部由兩種數字（1和0）來表示。如果密碼的長度只有3位，那么正確的結果必定是下列8種情況之一：
000，001，010，100，011，101，110，111
最多嘗試8次就能成功將其破解。
而密碼每增加一位，其可能出現的排列組合的種類就會增加一倍，破解密碼所需要嘗試的次數也隨之翻倍。
隨著密碼位數的增加，暴力破解最多需要嘗試的次數如爆炸般增長，破解難度和成本飛速增大。
那麼，這種利用「指數爆炸」增加密碼安全性的方法效果究竟如何呢？
在這裡，小編就給大家舉一個比較直觀的例子，如果我們要破解一串512位的密碼，並且每一位只可能是0和1兩個數字中的任一個，需要多久才能嘗試遍每種可能呢？答案如下：
這個數字意味著：即便有一臺現代超級計算機，並從宇宙誕生的那一刻起就開始解密，不停地嘗試各種數字的組合一直到現在（公元2020年），它也無法列舉完這串密鑰所有可能的情況。
>>>>程式設計師必備算法：二分法查找
二分法查找是計算機科學裡常用的算法，它能幫助人們在一組有序數組中迅速找出某一特定的元素，其基本過程可以總結為：
從數組的中間元素開始，如果中間元素恰好是所要查找的元素，則搜索過程結束。
如果要查找的元素大於或小於中間元素，則在數組大於或小於中間元素的那一半開始，而且同最初時一樣，也從中間元素開始比較。
這種算法的好處是，每一次比較都能使搜索的範圍縮小一半。這可以看作是「指數爆炸」的另一種應用。
例如，我們怎樣才能快速地在下列9個從小到大排列的數中尋找出數字4呢？
1 ，3 ，4 ，6 ，7 ，8 ，10 ，13 ，14
可能有的小夥伴會說，從第一個數開始檢查唄，如果第一個數不是4，就查看第二個數，還不是，就查第三個，以此類推總能找到4在哪裡。
想想看，如果4在這列數的最後一位，這種方法豈不是要比較所有位置的數嗎？這個計算量是很大的。
然而，如果用剛才介紹的二分法，每次都從中間開始找起，僅需3次比較就能找到4在哪裡，大大提高了效率。
隨著數組的擴大，這一方式的優勢也逐漸顯現出來，例如，只需要判斷10次，就能在2047個數據中找到目標元素。
運算20次就能在2097151個數據中找出想要的結果；而比較30次時，所能搜尋的數據範圍甚至變成了2147483647個！
數學作為人類思維表達形式的一種，反映了人們積極進取的意志，縝密周詳的推理，以及對完美境界的追求，它與我們的生活息息相關，它的魅力也一直影響著我們。
這篇文章中為大家簡要介紹的指數爆炸，不過是無數瑰麗景象的冰山一角，數學世界中還有更多美麗動人的風景等待我們去欣賞和發掘，如果你恰好也對它感興趣的話，不如就一起來探索一下，看看數學還會給我們帶來哪些出人意料又合乎邏輯的驚喜吧！
來源：數字北京科學中心
編輯：lwk
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