找規律類習題,先想明白再寫清楚
從七年級數學開始,規律類習題一直是思維上的一個難點,同一個班級內會形成巨大差異,當題目展示出來,一眼便看出來,和講完仍然不明所以的都存在,更細一點,看出來並不代表能寫清楚,最完美的是看出規律並描述出來,還能寫清楚。
找規律實質上是用數學語言描述世界的第一步,而且是用抽象的字母而非具體的數字,也是由小學算術邁向中學代數的關鍵一步。
題目
如圖,在平面直角坐標系中,邊長為1的正方形OA1B1C1的兩邊在坐標軸上,以它的對角線OB1為邊作正方形OB1B2C2,再以正方形OB1B2C2的對角線OB2為邊作正方形OB2B3C3,……,以此類推,則正方形OB2019B2020C2020的頂點B2020的坐標是______________
第一步,對角線的長度變化
習慣了以邊開始作正方形,突然改變到以對角線開始作正方形,因此需要把重點放在對角線如何變化上,這一系列正方形的對角線分別是OB1,OB2,OB3,……它們之間存在什麼樣的變化規律呢?
由於第一個正方形邊長為1,因此求得對角線OB1=√2,第二條對角線OB2=2,第三條對角線OB3=2√2,……
得到這一串數字√2,2,2√2,……很容易發現,每兩個相鄰數字之間相差√2倍,即可以寫成√2的乘方,依次是√2的1次方,2次方,3次方……,於是很順利得到最後的對角線OB2020=√2的2020次方。
第二步,點的位置變化
頂點B1在第1象限,B2在y軸正半軸,B3在第二象限,B4在x軸負半軸,繼續按這個規律推導下去,B5在第三象限,B6在y軸負半軸,B7在第四象限,B8在x軸正半軸,B9回到第一象限……
這意味著每8個點一輪循環,每個循環內依次是第一象限,y軸正半軸,第二象限,x軸負半軸,第三象限,y軸負半軸,第四象限,x軸正半軸。
於是B2020在什麼位置呢?
不妨用2020÷8,商為252,餘數為4,我們來解讀一下這個結果,經歷了252輪循環,最終在第253次循環中的第4個位置。
據此判斷B2020在x軸負半軸上。
第三步,坐標的確定
將對角線長度轉換成坐標時,要注意所處位置,再確定相應的符號。
解題反思
數學的抽象思維能力究竟如何培養,這個話題太大,我想換成如何準確地找出題目中的規律,方便描述一些,推廣開來,前一個問題不難找到結果。
在本題中,規律隱藏在圖形中,而圖形裡又有位置關係和數量關係,因此難度會大上一些,比起七年級單純尋找數字規律或圖形規律,需要進行一定的計算。
突破口選在對角線長度上,也是題目給出的提示,畢竟正方形四個頂點,其實頂點C在哪我們並不關心,所以要關注該關注的幾何元素,即頂點B及其所在對角線OB,而長度變化一旦確定,剩下的就是位置。
位置的尋找需要推演作圖,也就是說目前圖中的幾個點是不足以說明的,不妨按規律再畫幾個,前面規律看懂的,剩下的畫出來基本不費事,甚至可以不用畫,用強大的想像能力來解決,這當然是最上策。而這個能力的培養,絕對不是一朝一夕的事,需要一點點積累。
只要上述思維過程到位了,即想清楚了,寫結果或寫過程的時候才會遊刃有餘。