他們用摺紙解決了兩個數學難題,還折出了天文望遠鏡!!

摺紙是一門古老而有趣的藝術，然而當今的科學家們開始從新的角度審視這項藝術形式，將它應用於生活和科學的眾多方面——沒準，在你身邊就有融合了摺紙藝術的美妙產物。

當我九歲的時候，我就是個摺紙大師了。我有一個叫金的朋友，她有一年從日本來英格蘭拜訪。我當時向她展示了許多在英格蘭可做的有意思的事情，她也教會了我許多很酷的日本元素，從日本漫畫（Manga），再到製作壽司。當然，她還教會了我摺紙——有一天下午，金教會了我如何摺紙鶴。正是從那時候起，我覺得自己成為了「世界上最棒的摺紙大師」——不過後來又過了十五年我才意識到自己並不是，甚至於我從未接近過成為摺紙大師。

令人驚訝的是，我還不是唯一一個犯過這種錯誤的人。毫無疑問的是，歷史上有許多藝術家都真心相信他們已經製作了最好的、最複雜的摺紙模型。但事實上，直到20世紀，隨著計算機的興起摺紙才真正起飛。

羅伯特·朗用16張未切割的溫德斯通"大理石"方紙塊製作的異特龍骨架。尺寸：24英寸。圖片來源感謝羅伯特·朗。

摺紙簡史

儘管英文中「摺紙」（origami）一詞來源於日語，並經常同日本聯繫在一起，但是有記載的最早的摺紙來源於中國。早在公元200年左右中國就能生產出紙張了，那時候將其用作絲綢的廉價替代品。在中國，摺紙的藝術（The art of paper folding）讀作「Zhezhi 」，中國佛教僧侶在6世紀時把紙帶到了日本。

由羅伯特·朗用一個未切割的正方形韓國漢吉紙製作的飛馬。尺寸：7英寸。圖片來源感謝羅伯特·朗。

摺紙從此在日本生根發芽並發揚光大。「origami」一詞本身就是兩個較小的日語詞彙的組合："ori"，意思是摺疊，和"gami"，意思是紙。這項藝術是（現在仍然是）日本兒童許多世紀以來流行的消遣方式。

如果不是一個日本工人的出現，摺紙藝術可能還是按照傳統的樣式存在下去。這位叫作吉澤章（ Akira Yoshizawa）的工人於1911年出生於一個奶農家庭。吉澤小的時候很喜歡摺紙。而且和其他孩子一樣，隨著年齡的增長，對于吉澤章來說摺紙的魅力減弱了，他開始找到其他東西來代替摺紙以消磨時間。但是與絕大多數孩子不同，20歲出頭的吉澤章重新找到了他和這摺紙的關係。當時他在一家工廠裡教初級員工幾何學。吉澤章突然意識到，摺紙其實是一種可以幫助他的學生們理解角度、線條以及形狀的簡單卻有效的方法。

吉澤章 圖片來源：網絡

隨著吉澤練習得越來越多，他開發出了許多開創性的技術，比如「溼法摺紙」，這種技術可以把單張紙折出更加複雜的圖案甚至曲線出來。他的工作使得摺紙重新煥發了生機，他的這些技術使得摺紙從古怪的小打小鬧，變成了一門真正的藝術形式。隨著越來越複雜的摺紙圖案被設計出來，這項藝術開始吸引了數學家的注意，而他們的想法和吉澤不謀而合——摺紙與幾何學之間有著巨大的交叉聯繫。摺紙的數學研究最終演變成了解決兩個問題的新方法。而這兩個問題來源於不同的文化，根植於不同的大洲，已經有了很多年的歷史。

歐幾裡得的元素

亞歷山大的歐幾裡得是一位2000年前的希臘數學家，通常我們稱之為「幾何學之父」。歐幾裡得的作品《幾何原本》是數學史上最成功的教科書，也是已知最早系統性討論幾何學領域的書。

歐幾裡得知道，只用無刻度的直尺和圓規就可以完成大量的幾何操作，比如畫出五邊形、六邊形還有圓。這一點在當時也是眾所周知的，所以歐幾裡得能完成這些也並非非比尋常。

但是，歐幾裡得的開創性工作在於，他採用了系統性的方法來研究幾何問題。《幾何原本》中的每一個幾何結構和數學結果都是從一組五個假設出發分步推導出來的，其中也包括了使用尺規可能進行的操作：

給定兩點可以經過它們畫一條線；

任何線段的兩端都可以無限延伸；

可以以給定點為圓心，以從這一點出發的線段為半徑做圓；

所有直角彼此相等；

給定一條直線和不在線上的一點P，只有一條線經過P且不與原線相交。

用漢吉紙、線和木頭製作的蜂鳥和凌霄花。尺寸：15英寸。圖片來源感謝羅伯特·朗

這些假設，被稱為歐幾裡得公理，它們似乎是顯而易見的。事實上歐幾裡得自己也認為，它們是如此明顯，這本身是不言而喻的。但是這些公理的美麗之處在於，它們可以用來構造出各種定理的幾何證明，而這些證明本身比這幾條公理要複雜的多。

但是歐幾裡得公理本身也有局限性。古代有最著名的兩個問題，一個是三等分角問題（將給定角度分成三個相等的部分）和立方體的倍增問題（構造一個立方體，其體積正好是給定立方體的兩倍）。據傳說，古代德洛斯的市民就面臨著後一個問題，當時德爾福的預言家建議他們加倍他們的祭壇體積，以避免瘟疫。然而，事實證明，僅使用歐幾裡得的尺規作圖法是不可能解決這個問題的。三等分角也是無法用尺規作圖解決的。

但實際上，這兩個問題都可以用摺紙來解決！因此，我們仿佛看到了一種驚人的可能性——摺紙幾何比歐幾裡得幾何更強大。

摺紙的獨到之處

正如歐幾裡德為平面幾何設計了公理一樣，現代數學家藤田文章（Humiaki Huzita）和羽鳥公士郎（Koshiro Hatori）設計了一套完整的公理來描述摺紙幾何學——Huzita-Hatori公理。

公理1：給定兩個點

和

，存在唯一一個的摺疊，同時經過這兩個點。

公理2：給定兩點

和

，存在唯一一個摺疊，使得兩點重合。

公理3：給定兩條線

和

，存在一個摺疊，使得兩條線重合。

公理4：給定一個點

和一條線

，存在唯一的摺疊，它垂直於並通過點

。

公理5：給定兩個點

、

和一條線

，存在一個摺疊，它經過

，並使得

落在

上。

公理6：給定兩個點

和兩條線

，

，存在一個摺疊，可以使

落在

上，同時

落在

上。

公理7：給定一點

和兩條線

、

，存在一個摺疊， 它垂直於

，並且使得

落在

上。

三等分角問題

摺紙幾何裡面第七個公理是處理三等分角問題和立方體倍增問題的關鍵。下面我們從角度構造開始。按照下面的步驟，我們將會看到如何通過簡單的公理，通過一系列摺疊來完成歐幾裡得公理無法完成的操作。（圖表來源感謝羅伯特·朗）

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大家可以自己想一下其中的技術性原理。如果你仍有疑問的話，這裡給出一種證明。（此方法適用於任何小於90°的角度，對於更大的角度還有其他方法）

立方體倍增問題

給定一個稜長

體積 V 的立方體。你的任務是找到使得體積變成2V 時的正方體的稜長

。下面我們看看如何通過摺紙來做到這一點。（圖片來源感謝羅伯特·朗）

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如果你對此有疑問的話，這裡給出一個關於其中技術細節的證明。

一切盡在第三度

那麼摺紙是怎樣擁有了解決這兩個經典問題的能力的呢？答案在於這兩個問題都可以歸結為求解一個立方方程。在立方體的情況下，你要找到稜長

，使得

這裡V 是給定立方體的體積。因為

（這裡

是給定立方體的稜長），我們有

也就是說

既然你知道了

，那事實上只要找到

就可以了。這就是我們在上面的構造中發現的數字。

通過三角學可以把任意角度

三等分：寫作

，再利用三角公式（寫成兩個角的餘弦形式），我們有

因為

再加上

把它們帶入上面的等式

解出這個立方方程，就給出了

的可能值，再從中可以解出

。

事實證明，摺紙不僅可以求解上述兩個問題所對應的兩個立方方程，而且可以求解任何立方方程，即下面這個形式：

a,b,c,d對應某些值（你可以在這裡看到這個方程的解法）。而歐幾裡得只能通過尺規作圖方法求解二次方程，不能求解立方方程。

計算摺紙

現代數學摺紙的先驅者之一是美國數學家和摺紙藝術家羅伯特·朗。

1989年，朗為《工程與科學》雜誌寫了一篇文章，其中他指出一個問題：「計算機是否有一天能設計出一種被認為優於人類設計的摺紙模型？」他對這個問題非常感興趣，在1990年他開始編寫一個可以做到這一點的電腦程式。

從左起：由TreeMaker生成的圖案、生成的基和成品模型。圖片來源感謝羅伯特J.朗。

在幾個月內，朗製作了一個他稱之為Treemaker的軟體的第一個版本（之所以這樣稱呼，是因為作為起點的圖類似於樹木）。該程序能夠將簡單的線條圖或簡筆畫轉換為紙基的計劃，從中可以摺疊出模型。

在本文中，基是指一個幾何形狀，它裡面包含了對應於摺紙模型的所有附屬物的襟翼（一種活動面）。這樣一來，一隻有兩個翅膀、一條尾巴和一個頭的鶴可以由一個有四個襟翼的基形成，而一隻六條腿、一個頭、一個腹部的昆蟲可以由一個有八個襟翼的基形成。

用未切割的泰式 unryu 紙矩形製作的響尾蛇。尺寸：8英寸。圖片來源感謝羅伯特•朗。

起初，用朗自己的話說，TreeMaker"只是始於數學上的好奇心"。然而，在接下來的八年裡，隨著朗對摺痕圖案的理解不斷增加，他為程序添加了算法。到1998年，TreeMaker能夠為各種各樣的摺紙的基構建出完整的摺痕圖案。

如今，朗收藏了數千件摺紙雕塑。雖然不是所有的這些都是在Treemaker的幫助下完成的，但如果沒有它，朗最複雜的一些設計是不可能完成的。這篇文章中，就有許多他創作的圖案。

摺紙技術

雖然朗和其他人的一些設計確實令人震驚，但人們很容易將摺紙視為簡單的藝術：美麗，但在現實世界中沒有應用。因此，從太空望遠鏡到汽車安全氣囊，摺紙技術正被應用——這多少有些出人意料。

用一張未切割的韓國漢吉紙摺疊成的愛爾蘭鹿。尺寸：9英寸。圖片來源感謝羅伯特·朗。

自從1990年哈勃望遠鏡由發現號太空梭送入軌道以來，太空科學家一直致力於開發它最終的下一代替代品。加州勞倫斯利弗莫爾國家實驗室的衍射光學組的羅德裡克·海德（Roderick Hyde）提出了建造比哈勃望遠鏡大四十倍的望遠鏡的想法。哈勃望遠鏡本身就不小，長13米，孔徑2.4米。海德提議的望遠鏡的光圈將近100米，長數百米。這立即帶來了一個後續問題：即使可以設計這種東西，它如何進入軌道？

當研究人員意識到有可能製造出一個可摺疊的透鏡並裝進太空梭時，答案就呼之欲出了。我們可以通過將兩個透鏡置於軌道中，來使望遠鏡的兩端之間保持適當的距離。而在這個位置因為失重的緣故，這兩個透鏡可以停留在軌道上。實驗室立即看到了這與摺紙之間的關聯，他們聯繫了羅伯特·朗，想徵求他的專家意見。

在接下來的一年裡，在朗的幫助下，實驗室團隊建造了一個直徑為5米的名為「眼鏡」的原型。哈勃望遠鏡的下一代，於2013年發射的詹姆斯·韋伯太空望遠鏡上確實有一面鏡子，可以像摺紙一樣摺疊後放入火箭中。

詹姆斯·韋伯望遠鏡 圖片來源：網絡

對於離居家生活更近的應用，汽車安全氣囊的發展為我們提供了如何使用摺紙的另一個例子。在碰撞過程中，安全氣囊在充氣之前是被緊緊地摺疊到方向盤或儀錶板內的隔間中的。設計安全氣囊的工程師首先對計算機上的膨脹過程進行建模。為了做到這一點，他們需要一個算法來"摺疊"完全膨脹的安全氣囊。

使用電腦程式Treemaker，朗能夠為來自德國EASi工程公司的工程師提供他們的摺疊問題的解決方案。這實質上是將安全氣囊表示為一系列的多邊形，其邊緣在摺疊期間和摺疊之後要保持對齊——這項任務可以通過詳細的摺疊模式實現，就像朗用於摺紙模型一樣。

摺紙大師

對於一個像紙本身一樣古老的藝術來說，摺紙花了很長的時間才展現出它的潛力。今天，人們從摺紙上找到了數以百計的應用，從幫助建立自組裝機器人，再到為尋找人體內的蛋白質如何摺疊成精確的三維形狀提供線索。伴隨著計算機的誕生，人們花了近兩千年的時間才意識到有多少是可能的，而朗的創作證明了我們迄今為止可以走多遠。

用一個未切割的方紙做的螳螂。尺寸：4英寸。圖片來源感謝羅伯特·朗。

正如開頭所說，我九歲的時候還幻想著自己是個摺紙大師，幻想著自己已經憑藉一隻紙鶴徵服了摺紙的世界。而摺紙藝術的這些令人難以置信的應用，已經給我的九歲時的幻想畫上了句號。

然而對於摺紙的新手們而言，當他們發現自己能夠用一張紙摺疊幾下就製作出如此優雅簡單的形式，無疑每個人都會覺得自己真的是個大師。所以繼續試試吧，我敢保證你也會像我一樣被迷住的。

作者：Liz Newton

翻譯：Dannis

審校：Nuor

原文連結：

https://plus.maths.org/content/power-origami#angle