一、相關定義
拓撲空間的定義如下：
定義1. 設X是一非空集合，X的一個子集族稱為X的一個拓撲，如果它滿足：
（1）都包含在中
（2）中任意多個成員的併集仍在中
（3）中有限多個成員的交集仍在中
度量空間的定義如下：
定義2. 集合X上的一個度量是一個映射：,它滿足
（1）正定性. , ,, 當
（2）對稱性. ,
（3）三角不等式. ,
當集合X上規定了一個度量後，稱為度量空間。從相關定義中看出，若將度量空間中的開子集取作球形鄰域，則拓撲空間是度量空間的推廣。常見的度量空間有下面的一些例子:
例1：歐氏空間賦予距離拓撲後為度量空間。
例2：空間X賦予如下度量：，則X為度量空間。
例3：對實數上的閉區間上連續函數空間，我們可以賦予如下最大模範數誘導的度量，即任意兩個連續函數的的距離為這兩函數差的最大模，同樣對於可導函數，光滑函數都有類似的定義。
例4：在辛幾何中，在哈密頓微分同胚群中Hofer曾定義了如下度量：
從其誘導的範數稱為Hofer範數，該範數是研究辛拓撲、辛嵌入的強有力武器。
二、相關性質
度量空間中許多性質都發源於歐氏空間，它們滿足分離公理與、可數公理，但有許多性質到拓撲空間就不再保持。例如可分性就不再保持。
命題1：可分度量空間的子空間也是可分的。
證明:不妨假設X是可分的度量空間，A是X的子空間，B為X的可數稠密子集。下面證明為A的可數稠密子集。
首先證明為A的可數子集。因為B為可數子集，可數集的子集仍為可數集，所以為A的可數子集。
其次證明為A的稠密子集，此時需要在子空間拓撲下討論，即需證明A中任何開集與的交不空，由子空間拓撲定義，A中開集u為X中開集P與A的交，即.又因為B為X的稠密子集，即X的任何開集與B的交非空。所以，從而得證。
但可分拓撲空間的子空間一般是不可分的，例子參見[1]。
仍有許多例子在度量空間中部成立，但在拓撲空間中是成立的。比如在拓撲空間X中，序列，一般推不出，但在可餘拓撲空間中，我們有如下命題：
命題2：在實數空間R中賦予如下的餘可數拓撲，若有序列，則當n充分大時。
證明：在上，序列意味著對X 的任意鄰域u，當n充分大時，都在u中，而中的開集為可數集的餘集。故我們取U=，此U為包含x的開鄰域,但U中不含，此與矛盾。故當n充分大時。
命題3：f為拓撲空間到實數的連續映射，其中，則f為常值映射。
證明：假設f不是常值映射，即有實數c,d且和x,y有如下式子，。我們取c,d的鄰域u,v使得u,v均為開集且互不相交。因為f為連續映射，所以開集的逆像為開集，記u,v的逆像集為p,q。由拓撲的定義知且p,q有交集矛盾。
三、結語
度量空間和拓撲空間是現代數學的基石，特別是現代微分幾何與現代微分方程的發展度量空間的相關理論已經不能滿足其需要，像在辛幾何與切觸微分幾何中如何定義度量是一個非常棘手的問題。區分度量空間和拓撲空間具有非常顯示的意義。
*文章部分內容整理於網絡
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