這些看起來很簡單的問題,實際上讓無數數學家傷透腦筋

9月初，兩名數學家藉助計算機的力量，宣布他們終於解開了困擾了數學家65年之久的42的立方和之謎。當時他們表示接下來他們最感興趣的是數字3的非平凡解，但一個月不到，他們就找到想要的答案。而在更早的時候，另外兩名數學家證明了一個跟有理數有關的猜想。我們很高興看到這些數學進展，但同時又不免想起有些已經存在了數百年的數學問題，至今仍在挑戰著人類的智慧。有的問題看起來很簡單，但要證明它們卻難如登天。下面，我們就要來看看幾個這樣的數學難題。

1. π+ e = ？

π和e是數學中最為人所知的兩個常數，但是當把它們加起來時，卻成了一個難倒眾人的問題。

這個謎題與實代數數有關。一個實數如果是某個係數為整數的多項式的根，那麼我們可以說這個實數是代數數。例如x -6是有著整數係數的多項式，因為1和-6都是整數。x -6 = 0的根是x = ±√6，這意味著√6和-√6都是代數數。

所有有理數，以及有理數的根，都是代數數的。因此你可能會覺得，「大多數」實數都是代數數。然而結果卻恰恰相反，「代數數」的反義詞是「超越數」，事實證明幾乎所有實數都是超越數。在這裡，「幾乎所有」是有數學含義的，那麼哪些是代數數，哪些又是超越數？

π是一個已經存在了很久的實數，e大約在17世紀才為人所知。對於這樣兩個熟悉的數字，你可能會以為我們知曉與它們有關的任何基本問題。

事實是，我們知道π和e都是超越數的，但卻不知道π + e是代數數還是超越數。同樣，我們不知道πe、π/e以及其他這兩個數之間的簡單組合是什麼數。所以在數學中，還有著這樣一些我們已經知曉了數百年甚至上千年的數字，蘊含著一些令人難以捉摸的基本問題。

2. γ是有理數嗎？

這是另一個寫起來容易但解起來很困難的問題。你所要知道的一切就是有理數的定義。

有理數是可以被寫成p/q形式的數字，其中p和q都為整數。所以42、11/3，都是有理數；π和√2是無理數。這是一個非常基本的性質，因此你或許會認為我們可以很輕易地判斷出一個數字是否是有理數。

然而讓我們來認識一下歐拉常數——γ。這是一個實數，約等於0.5772，下圖中的方程表示的就是γ的閉型。

用文字來表達就是：「γ是調和級數與自然對數之差的極限。」所以說它是兩個已經被理解得很好的數學對象的組合，它還可以用其他簡潔的閉型表達，出現在數百個公式中。

但不知為何，我們偏偏不知道γ是否是有理數。我們對它的計算已經達到數千億位數，但是仍然無法證明它的有理性。一種理論認為，γ是無理數。與上一個問題中的π+ e很像的是，這是另一個我們無法回答關於一個熟悉數字的基本屬性。

3. 吻接數問題

圖片來源：JJ Harrison / Wikimedia Commons

數學中的一類廣泛的問題，叫做球體填充問題。無論是在純數學還是實際應用中都存在這些問題。在數學中它所涉及的問題是將球體堆積在給定的空間內，而在現實生活中的一個例子是雜貨店裡高高堆起的水果。這類問題的某一些已經有了完整的解決方案，而一些簡單的問題卻讓我們困惑不解，比如吻接數問題。

當一堆球聚集在某個區域時，每個球都有一個吻接數，它表示的是與這個球接觸到的其他球的數量。如果與某個球相鄰的球體有6個，那麼它的吻接數就是6。一堆球會有一個平均的吻接數，這個數字有助於我們用數學方法來描述這種情況。但是，一個與吻接數有關的基本問題，至今仍然沒有得到解答。

首先，我們先要對維度作出一些說明。維度在數學中具有特定的含義：它們是獨立的坐標軸。x軸和y軸表示坐標平面的兩個維度。所以每當科幻電影中的角色說他們要去往一個不同的維度時，這些話在數學上是沒有意義的，因為你無法「去往x軸」。

我們知道，一維是一條直線，二維是一個平面。對於這些較低的維度數值來說，數學家們已經證明這些維度中的球體可能存在的最大吻接數。在一維直線上是2——左右兩邊各一個。三維空間的確切吻接數直到上世紀50年代才得到證明。

三維之外的吻接數問題幾乎沒有得到解決。數學家們現在已慢慢地將可能性縮減到相當窄的範圍——最多24個維度，其中一些維度的吻接數是已知的。對於較大的數或一般形式，這個問題的開放性還很大。在獲得完整解決方案的道路上存在好幾個重大的障礙，其中包括計算能力上的限制。因此，預計在未來幾年，這一問題將能逐步取得進展。

4. 解結問題

圖片來源：Wikimedia Commons

解結問題中的最簡單版本已經得到了解決，但還沒能得到全面的解決。

這個問題與紐結理論有關，它的想法是試著運用正規的數學方法（例如證明）來打結（比如繫鞋帶）。

例如，你可能知道如何打一個「方型扭結」和「外平行結」。它們的打結步驟一樣，只要將方型扭結的其中一個結朝相反的方向打就能得到一個外平行結。但是你能證明這些結是不同的嗎？紐結理論便可以。

方型扭結（上）與外平行結（下）。| 圖片來源：Wikimedia Commons

扭結理論學家要處理的一個重大問題是研究一種算法，以確定一些混亂的糾纏是否是真正的扭結，還是說它可以解除糾纏。好消息是，數學家已經在過去的20年裡成功編寫出了這樣的算法。

解結問題仍然是計算性的。它是一種NP（非確定性多項式）類問題，但我們卻不知道它是否是一種P類問題。這意味著目前的情況是，我們已知這些算法能夠處理具有任何複雜性的解結問題，但當它們變得越來越複雜時，處理這個問題的時間就會長到不可思議。

如果有人能提出一種算法，可以在所謂的多項式時間內解開任何一個結，那麼解結問題就能得到徹底的解決。另外，如果有人可以證明這是不可能的，那麼這意味著解結問題所面臨的浩大的計算強度問題就是無可避免的。

5. 大基數問題

圖片來源：Wikimedia Commons

19世紀末，德國數學家格奧爾格·康託爾（Georg Cantor）發現無窮大是存在不同大小的，他證明了一些無限集合中所含有的元素比其他的無限集合更多。

最小的無限集合可以用 表示，這是自然數集合的大小，可以寫成| | = 。接下來是一些常見的比 更大的無限集合，比如康託爾證明了實數集比 更大，即| | > 。但是實數集也並非那麼大，這只是無限大的開始。

數學家們還在不斷地發現越來越大的無窮大，或者我們可以稱之為大基數。這是一個純數學過程，如果有人說「我想到了基數的定義，我可以證明這個基數比所有已知的基數都大」，那麼，如果他的證明是正確的，那這就會是已知最大的基數。直到有人想出一個更大的。

整個20世紀，大基數的疆域在不斷向前推進，現在的維基百科裡甚至有一個「基數」詞條，裡面有許多著名的基數都是以康託爾的名字命名的。那麼，這一切會終結嗎？答案幾乎是肯定的，儘管它會變得非常複雜。

從某種意義上說，龐大的基數等級的頂端就在眼前。一些已被證明的定理對可能存在的基數提供了某種上限。但未知的問題仍有很多，最新的一些基數直到2019年才確定下來。未來幾十年，我們很可能會發現更多基數。希望我們最終能獲得一張所涵蓋了有大基數的列表。

6. 哥德巴赫猜想

圖片來源：Wikimedia Commons

在數學的眾多未解之謎中，有些最困難的問題也有可能用簡單的文字就能描述，例如哥德巴赫猜想，它說的是：「每一個大於2的偶數都是兩個質數的和。」你可以在腦海中用較小的數字快速檢查一下：18 = 13+5，42 = 23+19。計算機對這個猜想的驗證已經擴展到了非常大的數量級，但即便如此，我們還是缺乏可以表明這對所有自然數都成立的證明。

哥德巴赫猜想源於1742年德國數學家克裡斯蒂安·哥德巴赫（Christian Goldbach）和瑞士傳奇數學家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）之間的信件，歐拉說：「我認為（它）是一個完全確定的定理，儘管我無法證明它。」

或許歐拉已經察覺到是什麼讓這個問題如此難以解決。對於更大的數字，它們有更多的被寫成兩個質數之和的方式。就像8隻能被拆分成3和5這兩個質數的和，但是42可以分解成5+37、11+31、13+29、19+23。因此對於那些非常大的數字來說，哥德巴赫猜想仍是一個不充分陳述。

直到現在，數學家仍無法證明完全證明哥德巴赫猜想，它是所有數學中最古老的開放式問題之一。

參考連結：https://www.popularmechanics.com/science/math/g29251596/impossible-math-problems/

來源：原理

編輯：zyi