蕭簫 發自 凹非寺量子位 報導 | 公眾號 QbitAI
先來看一道簡單的幾何問題：
下圖中，黑圓恰好將紅圓的面積等分，且黑圓的圓心恰好在紅圓上。假設紅圓半徑為R，黑圓半徑為r，求r。
是不是感覺已經信手拈來，能在紙上演算一通了？
然而，就是這個看起來簡單的數學難題，讓數學家們想了幾百年，都沒能給出它的解析解。
解析解，指用精確的數學表達式寫出的方程解。有些方程難以求出解析解，只能寫出近似解。如下圖，x=cos(x)就沒有解析解，方程的解只能近似為x≈0.7390…
△x=cos(x)，x沒有解析解
這個難倒數學家的問題，叫做「山羊問題」（goat problem），最初的問題描述是這樣的：
將一隻山羊拴在面積為1英畝的圓形草地的圍欄上，請問栓多長的繩子，才能讓山羊剛好吃到半英畝的草？
問題提出後，已有數學家給出了2種求解方程。
但，僅僅是「方程」：
這個問題的精確答案，即如何準確地用圍欄半徑來表示繩子長度，卻一直懸而未解。
美國海軍學院數學家Mark Meyerson曾表示，對於這一問題，此前「沒人知道確切答案，解決方法只是大致給出的。」
直到今年，才有一位叫做Ingo Ullisch的德國數學家，給出了這個問題的解析解。
從迭代到積分，求出來的還是方程
如果用數學的語言來描述這個問題，它是這樣的：
一個半徑為R的圓A，與另一個半徑為r的圓B相交，其中圓B的圓心在圓A上，且兩個圓的相交面積為圓A面積的一半，求解r。
如果只是列出有關r的方程，目前已經有兩種方案。
第一種方案，代入求解透鏡面積的方程。
透鏡由兩個（半徑相同或不同的）圓相交構成，求解它的面積A，目前已有這麼一個公式（其中，兩圓半徑為R和r，圓心之間的距離為d）：
顯然，「山羊問題」也能用透鏡面積方程來求解。
假設圍欄的半徑為1，那麼在「山羊問題」中，求解條件將變成R=d=1，且A=1/2π，求解出來的r符合這一方程式：
這個方程需要用迭代法求解，能得到r=1.1587…的答案。
但這不是數學家想要的結果。
不願意就此放棄的數學家們，試圖用求積分來解決這一問題，並給出了第二種方案：
這次，他們求出了左邊有r的式子，但遺憾的是，這其實是個超越方程（指方程中有無法用自變數的多項式或開方表示的函數，類似於x=cosx）：
這些看似都能求解出r，但實際上只能算出數值解，而非解析解。
最後用上了複變函數
直到今年，一個名為Ingo Ullisch的科學家，才終於給出了問題精準的解析解。
不過，為了求解這一問題，他甚至用上了複變函數的知識，這也使得式子變得複雜不已。
但也得益於他的貢獻，這一問題自被提出以來，第一次有了解析解：
那麼，這個式子是怎麼被求解出來的呢？
根據Ullisch的思路，他以兩個圓的圓心與其中一個交點相連，組成了一個三角形，如下圖所示。
其中，三角形的兩個底角分別被設為α/2和β/2。
在經過一系列複雜運算後，Ullisch將式子簡化成了下面這個方程：
求解這一方程，就能得到解析解，但會用到複變函數相關的定理。
Ullisch表示，這一問題之所以複雜，是因為問題本質上相當於給定了一個面積固定值，並倒推出它的輸入。
但如果想要逆轉這一過程，反向求解出輸入的定義，問題就會變得棘手。
CMU的數學教授Michael Harrison表示，這是他所知道的有關「山羊問題」的第一個明確的解析解。
「這絕對是一個進步。」
這也是山羊問題系列中，最原始、最根本，也是最難的問題之一。
有關山羊的問題，還有這麼多
事實上，自1748年來，數學家們還從最原始的山羊問題中，思考出了各種問題的變體（換著花樣找難題做）。
例如，除了讓山羊在圍欄內吃草，還讓山羊到圍欄外吃草，並計算它能吃到的最大草地面積（其中，繩索長度和圍欄周長固定）：
此外，甚至還讓羊飛上了空中，讓它在三維的世界裡吃草（空間中的山羊問題）：
當然，根本問題還是求解球的半徑r，使得兩個相交球的相交體積正好是單位球體積的一半。
不過，蘭卡斯特大學的數學教授Graham Jameson表示：「三維問題實際上比二維問題更容易解決。」
數學家Fraser表示，這是因為，如果將問題放在無限的維度中，數學家們可以推論出一個更明確的答案。
例如，將這個問題放到n維空間時，Fraser就推算出，當n接近無窮大的時候，繩子與限定球體的半徑比接近於√2。
然而在二維世界裡，這種明確的答案反而很難找。
因此，這次Ullisch求出的解析解，也是「山羊問題」系列的重大突破。
不過Ullisch也承認，這一問題的解決，並不會顛覆教科書或數學的研究，因為它只是一個孤立問題，不僅與其他問題無關，也沒有嵌入數學理論。
但數學家們仍然非常激動。
Mark Meyerson表示：
為數學題尋找新的解法，通常是很有價值的，這些解法不僅可以再次給已解決的問題帶來新思路，還可以將之推廣到其他問題上。
數學家Harrison則認為：
雖然解決放牧山羊的問題不會取得突破性的數學成果，但數學領域的新方向，永遠可能來自任何地方。
而提出山羊問題超越方程的Hoffman，也有類似的看法：
並非所有的數學進步都來自於取得根本性突破的人。有時候，這種進步也包括研究經典方法並找到新的角度，最終可能會帶來意想不到的效果。
當然，網友在祝賀之餘，也有表示這一問題「不太符合生活常理」的：
我認為這個問題，是沒有山羊相關的經驗的人提出的。因為我一想到山羊，就會想到它們在拼命跳籬笆、嚼繩子……這讓我沒辦法專心解決這個問題。
山羊問題解析解論文：https://link.springer.com/article/10.1007/s00283-020-09966-0
參考連結：https://news.ycombinator.com/item?id=25375575https://www.quantamagazine.org/mathematician-solves-centuries-old-grazing-goat-problem-exactly-20201209/https://en.wikipedia.org/wiki/Goat_problem#cite_note-1