頂級數學家是如何思考問題的？

數學家如何思考的問題與「音樂家如何作曲」的問題密切相關。同樣，問這個問題是為了了解創造過程是如何運作的。那些對計算機科學特別是人工智慧感興趣的人可以給出這個問題的正確答案。

不幸的是，沒有明確的方法來回答數學家是如何思考問題的。但我們可以這樣來思考：如果你觀看了任何一場西洋棋錦標賽，比賽結束時都會有解說去分析比賽的過程和結果。你會發現每一場比賽都有一個突破點。同樣，數學家在研究一個問題時，也會在找到解決方案之前，不斷尋求突破點。

因此，分析一些數學證明，對回答我們的問題和確定突破點是有用的。例如，我們都知道，歐幾裡得定理說有無窮個素數。這個定理的證明比定理本身更美麗。

那麼歐幾裡得是如何意識到質數是無限的呢？首先，歐幾裡得假設指數是有限的。然後他建立了一個集合，他寫下了所有的質數，並把集合中的元素稱為P = {p1, p2, p3，…，pr}。根據這個假設，除了這些數以外的任何數都不應該是質數。然後歐幾裡得將集合P的所有元素相乘，並在乘積上加1。然後他得到了一個新數字，並稱之為N。

除此之外，歐幾裡得還擁有一些優秀的數學知識，如算術基本定理。例如，他知道如果一個數不是質數，那麼它可以被分解成質數因子。因此，當他試圖對N進行因式分解時，因為N不是質數，N必須至少能被一個質數整除。但是，所有的質數都在集合P中，並且由於加1而不能將其除。例如，2和3是質數，2 x 3 = 6。2和3能除6，但不能除7(6+1)。所以這裡有一個矛盾。N不在質數的集合中，但它是質數。所以指數一定是無限的。

當我們看證明時，我們發現歐幾裡得做了一些不同於規範的事情。與我們的想法相反，質數是有限的想法並不是創造性的想法。數學邏輯已經在引導我們開始這樣的證明。最初的想法是歐幾裡得提出的N。

我們來證明另一個定理。當小學的孩子們非常淘氣的時候，老師在黑板上寫下了一道難題，讓所有的孩子安靜下來。老師讓孩子們把從1到100的所有數字加起來。在那一天，一個名叫高斯的德國男孩來到了那個班，他將來會成為最偉大的數學家之一。當老師認為孩子們要花很長時間才能解決這個問題時，高斯在幾分鐘後又繼續和他的朋友們交談。當高斯的老師問他為什麼說話時，他說他已經把問題解決了。那天，班上所有的學生都試著把所有的數字一一相加，但是高斯做了一件不尋常的事。他發現，整個數列有50個101。例如，1+100，2+99，3+98，…，50+51，都是101，而它們有50個。

如果我們仔細觀察這種方法，我們會發現，即使是小孩子也能看到這種觀察結果。然而，事實是，並不是所有的小孩都這樣解決這個問題。此

簡而言之，我們有很多很好的例子來分析數學家是如何思考問題的。幾乎每個數學家都在修改已有的定理和證明，以找到一個新的想法。但是那些被認為是天才的人做了一些額外的事情。

例如，讓我們想像一個音樂家。他不一定非得是約翰·塞巴斯蒂安·巴赫或伊戈爾·斯特拉文斯基。假設我們的音樂家去音樂學院學習了四年，完成了他的碩士和博士學位。現在如果我們讓他作曲，他能做到嗎？當然，他可以，但我們不確定他是否能創作出像巴赫那樣的作品。任何人都可以通過教育或培訓學到一些東西。一個在數學系學習四年的學生，一定會學到數學思維。

數學思維教育是一個不斷發展的過程。學生們首先上抽象的數學課。然後他們學習如何證明質數是無限的，就像上面的例子一樣。然後他們意識到他們也可以用同樣的方法證明另一個定理。簡而言之，要想成為一名數學家，最主要的事情就是將已知的小證明應用於未知的大證明。經過充分的練習，這些技能會被內化。

數學家通常有一種特殊的思維方式，這種思維狀態會隨著家庭作業、考試和閱讀而出現。這是一個很長的過程，需要很長時間。

到目前為止，我只討論了一個普通數學家是如何思考的。在這裡，我發現在討論數學思維的發展時，提到一些關鍵的人物是必要的。拉馬努詹的大學成績，除了數學以外，都太差了，他被大學開除了。他讀過的唯一一本數學書是一本算術練習本，沒有哪個數學家會讀這樣的書。然而，拉馬努詹寫了大量的數學公式，並把它們收集在一個筆記本裡。一天，拉馬努詹把那個筆記本送給了劍橋大學教授、英國著名數學家歌德弗雷·哈羅德·哈代。

• 拉馬努詹

當然，由於當時每個人都給哈代寄來了數百封信，一開始他並沒有把來自印度的信當回事。但是，他在信的一邊看到的公式引起了他的注意，因為那與他當時正在思考的一個問題非常相似。後來，哈代和他最好的朋友利特爾伍德開始研究拉馬努揚送來的所有公式。他們甚至不能理解一些注釋。哈代第一次用「這個人不是江湖騙子」這個短語來形容拉馬努詹。利特伍德問為什麼，他回答說：「因為他寫的那些公式連編都編不出來。」所以這些公式必須是正確的。哈迪在回信中立即邀請拉馬努詹到英國。

拉馬努詹到來時，哈迪和利特伍德注意到一件非常尷尬的事情。雖然拉馬努詹可以把無限的和寫成相等的形式，但他對現代數學一無所知。所以他們讓他學習現代數學和分析課程。但更尷尬的事情發生了。拉馬努詹無法理解抽象思維的基礎，對於學習數學的學生來說，這是一種非常不尋常的情況。

• 拉馬努詹和哈代在劍橋大學

拉馬努詹是個天才，與歐幾裡得不同，我們無法理解他是如何思考的。儘管解決了無限加法的問題，他卻無法理解最基本的分析技巧，對復變分析也沒有一點概念，但他可以研究zeta函數。所以拉馬努詹有一個只有他自己知道的不同的想法，一個我們永遠無法理解的想法。

有一天，哈迪對這種情況感到疑惑，問他這些公式是怎麼寫出來的，拉馬努詹告訴他，上帝給了他所有的公式，而他只是寫下了它們。對我來說，這是一個非常合理的答案，因為拉馬努詹是一個24/7的數學家（996什麼的弱爆了），他經常忘記吃飯。只有幾次他睡著了，他還在夢中繼續做數學。當我還是個學生的時候，這樣的事情就發生在我的期末考試周。有一次，我很努力地準備微積分考試，我在晚上的夢中繼續解答一些問題。

• 馬哈拉諾比斯

在英國，拉馬努詹遇到了他的童年好友馬哈拉諾比斯。馬哈拉諾比斯是一個非常著名的機構的創始人——印度統計機構。馬哈拉諾比斯是劍橋大學的學生，也是一名優秀的統計學家。這哥倆小時候在印度的一次數學競賽中分別獲得了第一和第二名。拉馬努詹排名第二，據說他哭了好幾天，說自己是最偉大的數學家。

一天，馬蘭諾比斯問拉馬努詹一個問題。這條街上有50到500間房子，所有的房子的編號都是從1到n。我們選擇的房子左邊的房子的號碼之和一定等於右邊房子的號碼之和。他能找到多少這樣的房子？

拉馬努詹一看到這個問題，就說如果沒有其他條件，我們可以用連續分數來解決。一個普通的數學家不可能這麼快就得出這個結論。拉馬努詹這個例子是一個關於數學家如何思考問題的不同視角。

拉馬努詹還有一個類似的故事：計程車牌照案。當拉馬努詹病重被送往醫院時，哈迪立即乘計程車去看望他。在沉默了好長一段時間後，哈代說他乘坐的計程車的車牌很普通；1729. 拉馬努詹毫不猶豫地回答說：「這太不可思議了，它是可以收集成兩個不同立方體的最小數字。」

高斯和拉馬努詹是天才，他們在很大程度上內化了數學和數字。這類數學家的共同點是，他們不怕複雜的計算。但是，我們應該知道，也有一些偉大的數學家，他們的思維方式與我們前面提到的不同。例如，與數學家拉馬努詹不同，主要研究代數幾何的亞歷山大•格羅塞迪克完全研究抽象數學。代數幾何通常與多項式重置根有關。在代數幾何中，數學家安德烈·韋爾曾有過一些長期無法解決的問題。

數學家如何思考是一個重要的問題，但是數學家之間的思考方式也有差異。一個人不喜歡另一個人的思維方式。一些數學家甚至不喜歡選擇公理。但在進行函數分析時，我們通常會使用公理。

我們討論了數學思想及其形式，但它還有另一個層面。數學越來越複雜了。有些理論或證明可能需要數百頁。例如，有限簡單組的分類就有數千頁。這就是為什麼一些數學家正在研究是否有可能使電腦程式能夠控制證明，或者，更好的是，電腦程式能夠直接證明。

音樂也是如此，因為音樂和數學是並行發展的。音樂家也要面對類似的事情。例如，有計算機音樂作曲家。人類有一個特定的速度限制，我們不能同時輸入八個符號，但可以在電腦上做任何事情。所以有人想知道我們是否能在數學思維中為計算機找到一席之地。這個想法提出了一個問題：計算機能自己開始做數學嗎？艾倫·圖靈第一個提出了這個問題。作為一個總結，當我們研究數學家是如何思考的時候，我們也應該開始思考如果計算機在未來開始像數學家一樣思考，會怎樣？