○ 當兩種流體以不同的速度越過彼此時，會出現複雜的不穩定性。數學家想要證明Navier-Stokes方程可以預測在每種情況下會發生什麼。 | 圖片來源：Quanta Magazine
納維葉-斯託克斯（Navier-Stokes）方程（簡稱NS方程）在流體力學界就相當於經典力學中的牛頓三大運動定律，它們描述的是氣體和液體的運動在不同的環境裡會如何演化。正如牛頓第二運動定理描述一個物體的速度在外力作用下會如何改變一樣，NS方程描述了流體的流動速度是如何受到壓力、黏度等內力以及重力一類的外力所影響的。這些方程的歷史可追溯到19世紀的20年代，現已被廣泛的用來模擬從海流、到飛機起飛後的湍流、再到流經心臟的血液流動等各個領域。
當物理學家認為這些方程的可靠性就如實錘一樣實時，數學家卻對它們投以十分謹慎的目光。在數學家眼中，這些方程的運作似乎並不對。他們想要證明的是這些方程是真的可靠的：無論是什麼流體，也無論對其流動的預測發生在多遠的未來，這些方程的數學仍保持正確。而這種願望已被證明是非常難以達到的。因此，NS問題被列為七個千禧年大獎數學難題之一。
為了解決這個問題，數學家嘗試發展了許多方法。 在去年9月，普林斯頓大學的數學家 Tristan Buckmaster 和 Vlad Vicol 在網上提交了一篇論文，引發了大家對一個問題的思考，即多年來數學家用來探尋NS方程問題的一種主要方法，是否有成功的可能性。Buckmaster 和 Vicol 發現，在某些假設條件下，NS方程對物理世界的描述不一致。
Buckmaster 說：「我們正在嘗試弄清楚出這些方程中的一些固有問題，以及為何我們很可能必須得重新思考這些問題。」
Buckmaster 和 Vicol 的研究表明，當我們將NS方程的解設定得非常粗略時（好比草圖之於照片），方程的輸出便開始失去意義：對同一流體，從相同的初始條件開始，可能會出現兩個或更多的非常不同的終態。如果這種情況發生的話，就意味著這些方程就不能可靠地反映我們想要描述的物理世界。
為了說明這些方程會如何失效，可以以海流的流動為例。在它的內部可能有許多個交叉水流，以不同的速度和方向在不同的區域流動。這些交叉水流在不斷變化的摩擦和水壓的作用中相互作用，並決定著流體之後的流動。
數學家用一幅能告訴我們流體中每個位置的水流方向和大小的圖來模擬這種相互作用。這種被稱為向量場的圖是流體內部動態的寫照。NS方程將這種寫照更提升了一個層次，它能準確地告訴我們向量場在隨後的每個時刻會變成什麼樣子。
○ 風的向量場圖示：在每一點上，風都有一個特定的方向和大小。 | 圖片來源：Windy.com
這些方程描述的流體的流動就好比牛頓方程預測的行星在未來的位置一樣可靠，物理學家一直在用它們對流體運動進行模擬和預測，得到的結果與實驗結果相符。然而，對數學家來說，他們需要的不僅是軼事證實，還需要證明這些方程是不能被違反的：不管起始於哪個向量場，也不管預測的是多麼遙遠的未來，這些方程總會且只能給你一個獨一無二的新向量場。
這就是千禧年大獎問題的主題，它探討的問題是NS方程是否對所有時刻的所有起點都有解。這些解必須為流體中的每個點的流動提供精確的方向和大小。以無限精細的解析度提供信息的解被稱為「光滑」解。一個光滑解能讓向量場中的每一個點都有與其相關的向量，使流體可以「平穩地」在場內流動，而不會陷在那些無從知道下一步該往哪移動的沒有向量的點上。
光滑解是物理世界的完整寫照，但從數學上講，它們可能並不總是存在。研究NS方程的數學家們擔心這種情況出現：假如我們正在運行NS方程，並觀察向量場會如何變化。過了一段時間後，方程顯示流體中的某個粒子正以無限快的速度移動——問題便來了。NS方程涉及到的是對流體中的壓力、摩擦力和速度等性質的變化進行測量，它們取這些量的導數。我們無法對無窮大的值進行求導，所以說如果這些方程裡出現了一個無窮大的值，那麼方程就可被認作為失效了。它們不再具有描述流體的後續狀態的能力。
同時，失效也是一個預示著方程中失去了某些應該描述卻沒能描述的物理世界。Buckmaster 說：「這也許意味著方程沒能捕獲到真實流體的所有效應，因為在真實流體中，我們不會看到粒子以無限快的速度運動。」
如果誰能找到NS方程絕不發生失效、或能確定讓其失效的條件，誰就解決了NS方程難題。數學家對著一問題的其中一個研究策略，就是首先放寬它們的解的一些要求。
當數學家研究像NS這樣的方程時，他們有時會從擴大對於解的定義開始。以NS方程為例來說，光滑解要求的是最大化信息量，它們要求在與流體相關的向量場內，每個點都存在一個向量。但如果我們放鬆這一要求，比如只需要能夠計算某些點上的向量，或者只需對向量的計算進行估算呢？這樣的解稱為「弱」解。它們讓數學家對一個方程的行為有個大致個把握，而不需要做找光滑解的所有工作。從某些角度來看，弱解比實際的解更容易描述，因為需要知道的信息更少。
弱解是以漸弱的狀態出現的。如果將光滑解看作是一張有著無限精細的解析度的流體數學圖像，那麼弱解就像是這張圖片的32位、16位或8位版本，取決於你想要的微弱程度。
1934年，法國數學家 Jean Leray 定義了一類重要的弱解。在Leray的解決方案中，與其使用精確的向量，他用的是向量場的小鄰域中的向量平均值。 Leray證明，當解可以採取這種特殊形式時，我們總能求解NS方程。換句話說，Leray解不會失效。
Leray的發現為解決NS問題開創了一個新方法：我們可以從Leray解開始（因為知道Leray解總是存在），再看看是否能將Leray解轉換成想要證明為永遠存在的光滑解。這個過程就類似於從一張粗糙的圖片開始，再試圖基於這個基礎往上添加信息，以獲得一個更真實的完美圖像。
Buckmaster 說：「一個可能的策略就是要證明這些弱的Leray解是光滑的，如果能證明它們是光滑的，那麼就解決了這一千禧年大獎的難題。」
還有一點，NS方程的解對應的是真實的物理事件，而物理事件的發生是單向的。因此，方程應只有一組獨一無二的解。如果你得到了好幾組可能的解，那就意味著方程失效了。
○ 圖片來源：Lucy Reading-Ikkanda/Quanta Magazine
正因如此，只有在 Leray解是獨一無二的情況下，數學家才能夠用他們來解決千禧年問題。非唯一的Leray解將意味著完全相同的流體從完全相同的起始條件開始，可能終結於兩個不同的物理狀態——這在物理上是不對的，同時這也意味著這些方程沒能真正描述它們應該描述的東西。Buckmaster 和 Vicol 的最新研究成果首次證明了，對某些定義下的弱解來說，情況可能就是如此。
在他們新發表的論文中，Buckmaster 和 Vicol 考慮的是比Leray解還要更弱的解，與 Leray解具有相同的平均原理，並同時額外放鬆了一個被稱為「能量不等式」的要求。他們使用一種叫做「凸體積分」的方法，它起源於數學家約翰·納什（John Nash）在幾何學方面的工作，並在最近被引用到流體研究中。
通過這種方法，Buckmaster 和 Vicol 證明了NS方程的這些非常弱的解是非唯一的。他們展示了如果從一個完全平靜的流體開始，例如擺放在床邊的一杯水，會有兩種情況可能發生。第一種情況是顯而易見的：水始於靜止並永遠靜止。第二個情況是匪夷所思的，但在數學上卻可行：即水開始靜止，但在半夜突然爆發，然後又回到靜止。這證明了方程解的非唯一性。
Buckmaster 和 Vicol 證明了NS方程存在的許多非唯一的弱解。在一定程度上，弱解可能會變得非常薄弱，以至於它們停止了真正意義上對光滑解的模仿。如果是這樣的話，那麼 Buckmaster 和 Vicol 的結果或許不能走得太遠。
De Lellis 說：「他們的結果當然是一種警告，但是你可以認為這是對弱解的最弱見解的警告。在NS方程中，有許多能讓我們對更好的表述報以期許的層面（更強的解）。」
Buckmaster 和 Vicol 也在從「層」的角度思考，他們將目光瞄準了 Leray 解，證明它們也允許多軌物理學，即同一處境下的相同流體可擁有不止一種形式的未來。
Vicol 說：「Tristan和我認為，Leray解並非唯一的。雖然我們現在還沒能證明這一點，但我們的工作正在為如何解決這個問題奠定基礎。」