繼上文《數學家的猜想錯誤》提到的七大數學難題和大衛·希爾伯特23個數學難題，今天我們就來詳細了解下。
世界七大數學難題，這七個「千年大獎問題」是：
NP完全問題、霍奇猜想、龐加萊猜想、黎曼假設、楊－米爾斯理論、納衛爾－斯託可方程、BSD猜想。
千年大獎問題
美國麻州的克雷（Clay）數學研究所於2000年5月24日在巴黎法蘭西學院宣布了一件被媒體炒得火熱的大事：對七個「千年數學難題」的每一個懸賞一百萬美元。
其中有一個已被解決(龐加萊猜想),還剩六個.（龐加萊猜想，已由俄羅斯數學家格裡戈裡·佩雷爾曼破解。我國中山大學朱熹平教授和旅美數學家、清華大學兼職教授曹懷東做了證明的封頂工作。）
「千年大獎問題」公布以來， 在世界數學界產生了強烈反響。
這些問題都是關於數學基本理論的，但這些問題的解決將對數學理論的發展和應用的深化產生巨大推動。
認識和研究「千年大獎問題」已成為世界數學界的熱點。不少國家的數學家正在組織聯合攻關。 可以預期， 「千年大獎問題」 將會改變新世紀數學發展的歷史進程。
1904年，法國數學家亨利·龐加萊（Henri Poincaré）在提出這個猜想："任何一個單連通的，封閉的三維流形一定同胚於一個三維的球面。"
換一種簡單的說法就是：
一個閉的三維流形就是一個沒有邊界的三維空間；單連通就是這個空間中每條封閉的曲線都可以連續的收縮成一點，或者說在一個封閉的三維空間，假如每條封閉的曲線都能收縮成一點，這個空間就一定是一個三維圓球。
懵逼中
為了大家便於理解龐加萊猜想，有人給出了一個十分形象的例子：假如在一個完全封閉（足夠結實）的球形房子裡，有一個氣球（皮是無限薄的），現在我們將氣球不斷吹大，到最後，氣球的表面和整個房子的牆壁是完全貼住，沒有縫隙。
面對這個看似十分簡單的猜想，無數位數學家前僕後繼，絞盡腦汁，甚至是傾其一生都沒能證明這個猜想。
希臘數學家帕帕奇拉克普羅斯直到臨終前都在為龐加萊猜想的證明而努力，最後只能把一疊厚厚的手稿交給了一位數學家朋友保管。
直到2003年，俄羅斯的數學家格裡戈裡·佩雷爾曼十分大膽地將他花費了8年時間的研究成果，上傳到專門刊登學術論文的網站上，說自己已經證明龐加萊猜想。
2005年10月，佩雷爾曼的證明終於通過了專家的驗證，他成為了「千禧年數學大獎」的第一位也是至今唯一一位獲獎人。（其他6個還沒解決）
英國數學家道格拉斯·霍奇(Douglas Hodge）在國際數學大會上提出了這個猜想：「在非奇異復射影代數簇上，任一霍奇類是代數閉鏈類的有理線性組合。」
霍奇猜想集中體現了現代數學發展中抽象特徵在滾雪球般擴大的趨勢，霍奇猜想的解決將在數學三大分支（分析、拓撲、代數幾何）之間找到某種基本的內在聯繫。
霍奇猜想是代數幾何裡的一個重大問題，不過，到現在對於這個問題的解決幾乎是沒有什麼進展。
在1900年在國際數學大會上希爾伯特提出的23個數學問題中的第8個問題就是黎曼假設，而經歷了100年，還是沒有人能解決，於是，在2000年千年數學大會上克雷研究所再次將黎曼猜想提出來，將其列為世界七大難題之一。
關於黎曼猜想的提出，也是十分有趣。
1859年，德國數學家黎曼（Riemann）被選為了柏林科學院的通信院士。黎曼對柏林科學院給予他的這一份崇高的榮譽表示非常感激，而為了表達自己的感激之情，他決定將自己的一篇論文獻給柏林科學院。
這篇論文就是《論小於給定數值的素數個數》，研究的就是數學家們一直很感興趣的一個問題——素數的分布。黎曼將素數的分布問題歸結為函數的問題，認為有一個特殊的函數（黎曼ζ函數），使其取值為零的一系列的特殊的點（黎曼ζ函數的非平凡零點）決定著素數分布的細緻規律。
不過，「懶人」黎曼的這篇論文僅僅只有8頁，裡面的內容極為簡練，惜字如金得讓好幾代數學家為之「吐血」。
黎曼列出了黎曼ζ函數的一些重要性質，而估計是關於這些性質的證明在黎曼眼裡根本不是事兒，所以，在這些性質的後面，都靜悄悄地跟著一個讓數學家抓狂的「證明從略」。。。（黎曼表示只是想讓其他數學家練練手）
幸運的是，在黎曼去世後的一百多年裡，世界上最優秀的數學家已經成功證明了黎曼的這些斷言，而且在探索的過程中，許多新的數學分支也由此產生。
唯有一個斷言至今都還沒有解決，而且黎曼也明確表明了這個命題自己也無法證明，這就是黎曼猜想：
關於黎曼ζ函數的那些非平凡零點，它們都分布在一個帶狀區域上（已被證明），黎曼猜測它們全都位於該帶狀區域正中央的一條直線上（臨界線），這就是所謂的黎曼猜想。
黎曼猜想是當今數學界最重要、最期待解決的數學難題。它與眾多的數學命題有密切關聯。
據統計，在當今數學文獻中以黎曼猜想(或其推廣形式)的成立為前提的數學命題就已經超過1000多條。如果黎曼猜想被證明，所有那些數學命題就全都可以榮升為定理；反之，如果黎曼猜想被否證，則那些數學命題中起碼有一部分將成為陪葬。
貝赫(Birch)和斯維訥通-戴爾(Swinnerton-Dyer)猜想是指：對有理數域上的任一橢圓曲線，其L函數在1的化零階等於此曲線上有理點構成的阿貝爾（Abel）群的秩。
在2012年，中國數學家田野在浦港工大作了關於BSD猜想的報告，連續用5個多小時來證明了「存在無數個同餘數」，震驚全場。
而該領域泰鬥劍橋大學教授約翰·科茨（JohnCoates）也給予了高度的評價：雖然這並不是完美的答案，但是對於解決BSD猜想確實是一個巨大的飛躍。
在一個周六的晚上，你參加了一個盛大的晚會。由於感到局促不安，你想知道這一大廳中是否有你已經認識的人。你的主人向你提議說，你一定認識那位正在甜點盤附近角落的女士羅絲。不費一秒鐘，你就能向那裡掃視，並且發現你的主人是正確的。然而，如果沒有這樣的暗示，你就必須環顧整個大廳，一個個地審視每一個人，看是否有你認識的人。這樣就會浪費很多時間。
所有的完全多項式非確定性問題，都可以轉換為一類叫做滿足性問題的邏輯運算問題。既然這類問題的所有可能答案，都可以在多項式時間內計算。人們於是就猜想，是否這類問題，存在一個確定性算法，可以在多項式時間內，直接算出或是搜尋出正確的答案呢?
這就是斯蒂文·考克於1971年提出的NP=P?的猜想（到底是NP等於P，還是NP不等於P）。
NP（Non-deterministic Polynomial）是多項式複雜程度的非確定性問題。而如果任何一個NP問題都能通過一個多項式時間算法轉換為某個NP問題，那麼這個NP問題就稱為NP完全問題（Non-deterministic Polynomial complete problem）。
NP完全問題是NP類中「最難」的問題，也就是說它們是最可能不屬於P類的。這是因為任何NP中的問題可以在多項式時間內變換成為任何特定NP完全問題的一個特例。屬於計算機科學理論的一個基本概念。
NP完全問題排在了百萬美元大獎的首位，出現在了純粹科學研究，通信、交通運輸、工業設計和企事業管理部門，社會軍事、政治和商業的鬥爭等各個領域，但是除了運用窮舉法求解（計算的時間隨問題的複雜程度成指數的增長，很快就會變得不可計算。）之外，人們還沒發現有價值的求解方法。
1954年，物理學家楊振寧和R.L.米爾斯提出了規範場理論，即楊-米爾斯理論(Yang-Mills)，理論中出現的楊-米爾斯方程是一組數學上未曾考慮到的極有意義的非線性偏微分方程。他們發現，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何對象的數學之間的令人注目的關係。
而基於楊-米爾斯方程的預言也已經被全世界範圍內的高能實驗所證明。
然而，已經被大多數物理學家所確認，並且在他們的對於"夸克"的不可見性的解釋中應用的"質量缺口"假設，從來沒有得到一個數學上令人滿意的證實。
斯託克斯
納維葉-斯託克斯(Navier-Stokes)方程是指描述粘性不可壓縮流體動量守恆的運動方程。是由納維於1821年以及斯託克斯於1845年分別建立的，
在直角坐標系中，其矢量形式為＝－Ñp＋ρF＋μΔv，式中ρ為流體密度，p為壓強，u為速度矢量，F為作用於單位質量流體的徹體力，Ñ為哈密頓算子 ，Δ為拉普拉斯算子。
N-S方程反映了粘性流體流動的基本力學規律，在流體力學中有十分重要的意義。
它描述了大量對學術和經濟有用的現象的物理過程。它們可以用於建模天氣，洋流，管道中的水流，星系中恆星的運動，翼型周圍的氣流。它們也可以用於飛行器和車輛的設計，血液循環的研究，電站的設計，汙染效應的分析等等。
它是一個非線性偏微分方程，求解非常困難和複雜，目前只有在某些十分簡單的流動問題上能求得精確解；但在有些情況下，可以簡化方程而得到近似解。
數學家和物理學家深信，無論是微風還是湍流，都可以通過理解N-S方程的解，來對它們進行解釋和預言。
直到現在，關於N-S方程的存在性與光滑性的奧秘，人類還在繼續探索中。。。
Hilbert提出的23個問題
大衛·希爾伯特（David Hilbert，1862年1月23日－1943年2月14日），德國數學家，是19世紀和20世紀初最具影響力的數學家之一。
他在數學上的領導地位充分體現於：
1900年,在巴黎的國際數學家大會提出的一系列問題（希爾伯特的23個問題）為20世紀的許多數學研究指出方向。
希爾伯特23個問題及其解決情況：
1． 連續統假設
1874年，康託猜測在可列集基數和實數基數之間沒有別的基數，這就是著名的連續統假設。
1938年，哥德爾證明了連續統假設和世界公認的策梅洛--弗倫克爾集合論公理系統的無矛盾性。
1963年，美國數學家科亨證明連續假設和策梅洛--倫克爾集合論公理是彼此獨立的。
因此，連續統假設不能在策梅洛--弗倫克爾公理體系內證明其正確性與否。希爾伯特第1問題在這個意義上已獲解決。
2． 算術公理的相容性 歐幾裡得幾何的相容性可歸結為算術公理的相容性。
希爾伯特曾提出用形式主義計劃的證明論方法加以證明。
1931年，哥德爾發表的不完備性定理否定了這種看法。
1936年德國數學家根茨在使用超限歸納法的條件下證明了算術公理的相容性。
1988年出版的《中國大百科全書》數學卷指出，數學相容性問題尚未解決。
3． 兩個等底等高四面體的體積相等問題
問題的意思是，存在兩個等邊等高的四面體，它們不可分解為有限個小四面體，使這兩組四面體彼此全等。M.W.德恩1900年即對此問題給出了肯定解答。
4． 兩點間以直線為距離最短線問題
此問題提得過於一般。滿足此性質的幾何學很多，因而需增加某些限制條件。
1973年，蘇聯數學家波格列洛夫宣布，在對稱距離情況下，問題獲得解決。
《中國大百科全書》說，在希爾伯特之後，在構造與探討各種特殊度量幾何方面有許多進展，但問題並未解決。
5.一個連續變換群的李氏概念，定義這個群的函數不假定是可微的 這個問題簡稱連續群的解析性，即：是否每一個局部歐氏群都有一定是李群？
中間經馮·諾伊曼（1933，對緊群情形）、邦德裡雅金（1939，對交換群情形）、謝瓦莢（1941，對可解群情形）的努力，1952年由格利森、蒙哥馬利、齊賓共同解決，得到了完全肯定的結果。
6.物理學的公理化
希爾伯特建議用數學的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力學。
1933年，蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫實現了將概率論公理化。後來在量子力學、量子場論方面取得了很大成功。但是物理學是否能全盤公理化，很多人表示懷疑。
7.某些數的無理性與超越性
1934年，A.O.蓋爾方德和T.施奈德各自獨立地解決了問題的後半部分，即對於任意代數數α≠0 ，1，和任意代數無理數β證明了αβ 的超越性。
8.素數問題 包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孿生素數問題等。
一般情況下的黎曼猜想仍待解決。哥德巴赫猜想的最佳結果屬於陳景潤（1966），但離最解決尚有距離。
目前孿生素數問題的最佳結果也屬於陳景潤。
9．在任意數域中證明最一般的互反律
該問題已由日本數學家高木貞治（1921）和德國數學家E.阿廷（1927）解決。
10． 丟番圖方程的可解性
能求出一個整係數方程的整數根，稱為丟番圖方程可解。
希爾伯特問，能否用一種由有限步構成的一般算法判斷一個丟番圖方程的可解性？
1970年，蘇聯的IO.B.馬季亞謝維奇證明了希爾伯特所期望的算法不存在。
11． 係數為任意代數數的二次型
H.哈塞（1929）和C.L.西格爾（1936，1951）在這個問題上獲得重要結果。
12． 將阿貝爾域上的克羅克定理推廣到任意的代數有理域上去
這一問題只有一些零星的結果，離徹底解決還相差很遠。
13． 不可能用只有兩個變數的函數解一般的七次方程
七次方程 的根依賴於3個參數a、b、c，即x=x （a，b，c）。這個函數能否用二元函數表示出來？
蘇聯數學家阿諾爾德解決了連續函數的情形（1957），維士斯金又把它推廣到了連續可微函數的情形（1964）。但如果要求是解析函數，則問題尚未解決。
14． 證明某類完備函數系的有限性
這和代數不變量問題有關。1958年，日本數學家永田雅宜給出了反例。
15． 舒伯特計數演算的嚴格基礎
一個典型問題是：在三維空間中有四條直線，問有幾條直線能和這四條直線都相交？
舒伯特給出了一個直觀解法。希爾伯特要求將問題一般化，並給以嚴格基礎。現在已有了一些可計算的方法，它和代數幾何學不密切聯繫。但嚴格的基礎迄今仍未確立。
16． 代數曲線和代數曲線面的拓撲問題
這個問題分為兩部分。前半部分涉及代數曲線含有閉的分枝曲線的最大數目。後半部分要求討論 的極限環的最大個數和相對位置，其中X、Y是x、y的n次多項式.
蘇聯的彼得羅夫斯基曾宣稱證明了n=2時極限環的個數不超過3，但這一結論是錯誤的，已由中國數學家舉出反例（1979）。
17． 半正定形式的平方和表示
一個實係數n元多項式對一切數組(x1,x2,...,xn) 都恆大於或等於0，是否都能寫成平方和的形式？
1927年阿廷證明這是對的。
18． 用全等多面體構造空間
由德國數學家比勃馬赫（1910）、莢因哈特（1928）作出部分解決。
19． 正則變分問題的解是否一定解析
對這一問題的研究很少。C.H.伯恩斯坦和彼得羅夫斯基等得出了一些結果。
20． 一般邊值問題
這一問題進展十分迅速，已成為一個很大的數學分支。目前還在繼續研究。
21． 具有給定單值群的線性微分方程解的存在性證明
已由希爾伯特本人（1905）和H.羅爾（1957）的工作解決。
22． 由自守函數構成的解析函數的單值化
它涉及艱辛的黎曼曲面論，1907年P.克伯獲重要突破，其他方面尚未解決。
23． 變分法的進一步發展出
這並不是一個明確的數學問題，只是談了對變分法的一般看法。20世紀以來變分法有了很大的發展。
這23問題涉及現代數學大部分重要領域，推動了20世紀數學的發展。
基於MATLAB對希爾伯特矩陣的實現
在MATLAB中，生成希爾伯特矩陣的函數是hilb(n)。
使用一般方法求逆會因為原始數據的微小擾動而產生不可靠的計算結果。
MATLAB中，有一個專門求希爾伯特矩陣的逆的函數invhilb(n)，其功能是求n階的希爾伯特矩陣的逆矩陣。 例1 求4階希爾伯特矩陣及其逆矩陣。命令如下：
format rat %以有理形式輸出
H=hilb(4)
K=invhilb(4)
運行結果如下
H = 1 1/2 1/3 1/4 1/2 1/3 1/4 1/5 1/3 1/4 1/5 1/6 1/4 1/5 1/6 1/7
K = 16 -120 240 -140 -120 1200 -2700 1680 240 -2700 6480 -4200 -140 1680 -4200 2800
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有資料[06年文獻]，顯示希爾伯特23個問題大部已經解決，
但仍有以下13個問題仍是懸而未決。
1、問題1連續統假設。
全體正整數（被稱為可數集）的基數和實數集合（被稱為連續統）的基數c之間沒有其它基數。
背景：1938年奧地利數學家哥德爾證明此假設在集合論公理系統，即策莫羅-佛朗克爾公理系統裡，不可證偽。
1963年美國數學家柯恩證明在該公理系統，不能證明此假設是對的。
所以，至今未有人知道，此假設到底是對還是錯。
2、問題2 算術公理相容性。
背景：哥德爾證明了算術系統的不完備，使希爾伯特的用元數學證明算術公理系統的無矛盾性的想法破滅。
3、 問題7 某些數的無理性和超越性。
5、 問題8 素數問題。
6、 問題11 係數為任意代數數的二次型。
背景：德國和法國數學家在60年代曾取得重大進展。
7、 問題12 阿貝爾域上的克羅內克定理在任意代數有理域上的推廣。
背景：此問題只有些零散的結果，離徹底解決還十分遙遠。
8、 問題13 僅用二元函數解一般7次代數方程的不可能性。
背景：1957蘇聯數學家解決了連續函數情形。如要求是解析函數則此問題尚未完全解決。
9、 問題15 舒伯特計數演算的嚴格基礎。
背景： 代數簌交點的個數問題。和代數幾何學有關。
10、 問題16 代數曲線和曲面的拓撲。
要求代數曲線含有閉的分枝曲線的最大數目。和微分方程的極限環的最多個數和相對位置。
11、 問題18 用全等多面體來構造空間。
無限個相等的給定形式的多面體最緊密的排列問題，現在仍未解決。
12、 問題20 一般邊值問題。
偏微分方程的邊值問題，正在蓬勃發展。
13、 問題23 變分法的進一步發展。
參考資料：CSDN博客 JULY