中國數學家宗傳明突破希爾伯特第十八問題 用23年糾正亞里斯多德的...

古希臘哲學家亞里斯多德相信，如果把正四面體形狀的磚彼此無縫地相接起來，就能裝滿整個空間，即最大密度達100%，這在16世紀被證明是錯的。而一位中國數學家花了23年，給出了正四面體的磚堆起來精確的最大密度。幾何體的最大堆積密度，是著名的希爾伯特第18問題（解釋見下文），希爾伯特的23個問題每一個都是公認的最重要的數學難題，其中少數至今沒有解決。

北京大學數學科學學院教授宗傳明的辦公室既狹小又簡陋。一張寫字檯、滿滿一柜子書和兩把舊椅子佔據了大部分空間，一臺用了十幾年的筆記本電腦大概算得上是這裡最現代化的電器了。事實上，宗傳明連手機都沒有。然而，逼仄的空間和陳舊的設施並未束縛住這位數學家的天馬行空。他將最精確的運算和最複雜的推導都放在了自己的大腦中。5月4日，純數學領域的權威雜誌《數學進展》發表了宗傳明一篇長達61頁的研究論文。

北京大學數學科學學院教授宗傳明

一個古老的數學問題

先哲的智慧總是讓人驚嘆。早在兩千多年前，古希臘人就發現了五種正規多面體——正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體。人們將這些正規多面體賦予了靈性，如正四面體代表火，正八面體代表空氣，正二十面體代表水。

公元前三世紀，古希臘哲學家、科學家和教育家亞里斯多德斷言，在這五種正規多面體中，正四面體和立方體都能砌滿整個空間。換句話說，他認為用大小一樣的正四面體形狀的磚彼此無縫地相接起來，就能裝滿整個空間。

正多面體共有五個，均由古希臘人發現

在隨後的一千八百年中，亞里斯多德的這一斷言曾多次受到著名學者的質疑。但是，對其錯誤的嚴格論證直到16世紀才出現。

「人們發現，當幾個正四面體沿著一條稜圍成一圈時一定會產生縫隙。」宗傳明告訴《中國科學報》記者，用專業的話說，正四面體的最大堆積密度是小於1的。

1900年，被稱為「數學界無冕之王」的德國數學家希爾伯特在法國巴黎召開的第二屆國際數學家大會上作了一次演講。他提出了新世紀數學家應當努力解決的23個數學問題，著名的費馬猜想、哥德巴赫猜想均在此列。

而基於亞里斯多德的錯誤和克卜勒關於堆球的猜想，希爾伯特將「確定一個給定幾何體（例如球或者正四面體）的最大堆積（或定向堆積）密度」列入他的第十八個問題。

「數學家要有點志氣」

1991年，在中科院院士王元的支持下，宗傳明坐上火車，歷經7天7夜的長途跋涉，遠赴奧地利首都維也納攻讀博士學位，師從當代著名數學家拉夫卡和格魯巴學習數的幾何。

起初，年輕的宗傳明並不知道自己該做些什麼，直到一個周五的下午，他來到拉夫卡的辦公室。這位老人告訴他：「一個好的科學家要樹立一個遠大理想，要有一個核心研究問題。問題確定後，要堅持獨立思考，圍繞著核心問題循序漸進，逐步提高水平。不要整天忙於讀書與聽報告，獨立思考是最重要的。」

之後，宗傳明閱讀了大量書籍，從中確立了他的長遠研究目標：希爾伯特第十八問題。

「我覺得數學家要有點志氣，不能光挑一些小問題研究，打一槍換一個地方。」宗傳明說，「好的數學家都希望能在歷史上留下點什麼，他們關心的是100年後別人如何評價自己。同時，科學也會讓民族有光。如果牛頓、愛因斯坦都是中國人，想必現在我們的腰杆會挺得更直。」

幸運女神降臨

回國工作後，宗傳明得到許多前輩數學家的提攜與幫助。這使他下定決心要在希爾伯特第十八問題上取得突破，遠則告慰恩師，近則對得起前輩的支持。

宗傳明幾乎每天都在思考這一難題，並動手做了許多幾何模型幫助思考，尋求創新思路。但這畢竟是一個「令許多傑出數學家競折腰」的問題，六年過去了，仍然沒什麼實質進展。

2006年，美國普林斯頓大學與密西根大學的兩組科學家藉助計算機對正四面體的堆積密度展開競賽式研究。而材料學家也開始認識到，基本單元為正四面體的納米材料可能具有十分特殊的物理性質，其有望在應用領域大展拳腳。

這使宗傳明感受到巨大的競爭壓力，更讓他深刻地體會到這一問題的重要性。他謝絕了國際、國內的所有邀請並辭掉一些行政事務，開始更加專注地研究希爾伯特第十八問題。

經歷過無數次的失敗後，2012年8月，宗傳明發現了一個巧妙的方法，從而在這一著名問題上獲得突破性進展。他證明正四面體的最大平移堆積密度介於0.367346……和0.384061……之間，這是人們對這一問題所取得的第一個上界。

「這篇論文投稿後，審稿時間長達一年半。」宗傳明坦言，「到了後期我真的很緊張，因為萬一中間出了什麼錯，這20多年的心血就全都白費了。」

這一次，幸運女神終於眷顧了他。經過嚴苛的審稿後，論文終於成功發表，並被歐美同行盛讚為一項輝煌的工作。德國著名數學家漢克評價稱：「必須承認，我被其中異常複雜的運算和構造嚇壞了——非常讓人敬佩！」

「有些數學家很幸運，找到一個著名問題很快就解決了。但絕大多數人沒有這麼好的運氣，他們需要十幾年乃至幾十年的不懈努力。」談起自己的成功，宗傳明說，「我絕不是天才，只是比別人更努力一點而已。」

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「第五元素」是正十二面體？

柏拉圖的「四古典元素」，其形狀如正多面體中的其中四個。

火的熱令人感到尖銳和刺痛，好像小小的正四面體。

空氣是用正八面體制的，可以粗略感受到，它極細小的結合體十分順滑。

當水放到人的手上，它會自然流出，那它就應該是由很多小球所組成，好像正二十面體。

土與其他的元素相異，因為它可以被堆棧，正如立方體。

剩下沒有用的正多面體——正十二面體，柏拉圖以不清晰的語調寫：「神使用正十二面體以整理整個天空旳星座。」柏拉圖的學生亞里斯多德添加了第五個元素——以太（希臘文：Αιθήρ，拉丁轉寫：aithêr；拉丁文：aether），並認為天空是用此組成，但他沒有將以太和正十二面體聯繫。

克卜勒在《宇宙的奧秘》(1596)中給太陽系的柏拉圖立體模型。

約翰內斯·克卜勒依隨文藝復興建立數學對應的傳統，將五個正多面體對應五個行星——水星、金星、火星、木星和土星，同時它們本身亦對應了五個古典元素。

如果四面體換成球呢？

若將一個容積很大的容器，以大量體積很小且體積彼此相等的小球給填充(顯然不可能完全填滿，一定會有些空隙留下)，那其密度就是指所有小球體積的總和對容器空間的比值。若欲使該容器中能放入儘可能多的小球，就必須尋找密度最高的排列法，也就是使這些被裝填的小球彼此間能儘可能緊密地排在一起。

有人做過實驗，並發現隨機裝填的密度大約有65%，然而小心地排列球的位置，可達致更高的密度。若在第一層，先將球以六角形的方式排列(即每個球四周圍繞六顆球)，然後下一層的球放在「於上一層球之上能讓球中心位置最低的點」上，然後其餘層以此類推。這就是在市場水果攤上橘子堆棧的方式。每個階段對於下一層該如何擺放，都有著兩種選擇，故若一直重複此法，到了最後，會有無限多的、密度相同的球的堆棧存在，此法最為人知的兩種形式，即是面心立方和六方最密堆積這兩種方法(這兩種方法的平均密度相同)，此法的平均密度大約74%，即74%左右的空間為球所佔據。

面心立方和六方最密堆積這兩種方法

克卜勒猜想說，這是所有可能的裝球排列法所能達到的最高密度，沒有更高的了。

1900年，希爾伯特將此問題包含在希爾伯特的23個問題中，作為希爾伯特第十八問題的一部分。