Wir müssen wissen, wir werden wissen.
我們必須知道，我們必將知道。——大衛·希爾伯特David Hilbert
物理學家有一個夢想，將四種基本力整合到一個統一的理論中，它可以解釋一切的力，進而闡釋一切物理現象，是宇宙最深刻的秘密，是上帝造物的終極藍圖；
數學家有個小小的桃花源。兩千多年前，歐幾裡得的《幾何原本》從少量「自明的」定義、公理出發，推演整個幾何體系，並詮釋了一種探究真理的模式。
19世紀，社會上流行一種不可知論，「We do not know, we shall not know.」1930年，希爾伯特退休前，他在演講中激情澎湃的宣稱：「我們必須知道，我們必將知道！」 希爾伯特去世後，這句話就刻在了他的墓碑上。
希爾伯特最廣為人知的是，1900年巴黎國際數學家代表大會上，他發表的著名講演《數學問題》。希爾伯特根據過去數學研究的成果和發展趨勢，提出了23個最重要的數學問題，統稱為希爾伯特問題。希爾伯特問題作為諸多數學家力圖攻克的難關，對現代數學的研究和發展產生了深刻的影響，並起了積極的推動作用。希爾伯特問題中，有些現已得到圓滿解決，有些至今仍未解決。
希爾伯特涉獵多個數學領域，致力於為整個數學尋求一個堅實的基礎。對平面幾何的嚴格公理化只是他的一小步，他的目標是將整個數學體系嚴格公理化，然後再做出嚴謹的證明。1920年，他提出了希爾伯特計劃：
首先，將所有數學形式化，即，將數學陳述用符號表達；然後，證明這個形式化系統是無矛盾的（一致性、自洽性、或者相容性），並且是完全的（完備性），即，所有正確的陳述（就相當於定理了）都可以被證明出來；相關希爾伯特問題：第二問，算術公理系統的無矛盾性。最後，找到一種算法，來判斷一個陳述（命題）是否正確，即可判定性。（判斷機器？呵）相關希爾伯特問題：能求出一個整數係數方程的整數根，稱為丟番圖方程可解。第十問，是能否用一種算法（有限步），判斷一個丟番圖方程的可解性。
1931年，希爾伯特退休之後一年，哥德爾覆滅了希爾伯特計劃。
通俗的說，哥德爾證明了，任何無矛盾的（包含算術的）系統內，總有陳述是真的，可是沒法證明。任意包含了算術系統的數學系統，不可能同時是完備的和一致的。換句話說，總有陳述，我們無法知道真假，即不可判定。
嗯嗯，沒證明的猜想很多，只要我用得到的原理是對的，其他就隨便吧。可是，哥德爾的證明還包括，任意無矛盾的（包含了算術的）數學系統，不能在系統內部證明它的無矛盾性。（只是說在系統內不能證明，採用系統外的辦法，還是有可能的。比如說，自然數的皮亞諾公理的一致性可以在集合論中證明。）
好吧，希爾伯特計劃註定執行不下去了，有些東西根本沒法證明，我們到哪裡去找這樣的算法？
可是，系統其實可以是一致並完備的，例如一些較弱的系統（不包含算術，連自然數都定義不了）一階謂詞演算。在這樣的系統裡，所有正確的，都應該可以被證明。
可是，還是沒有這樣的機械算法。艾倫·圖靈Alan Mathison Turing證明了這樣的算法不存在，（還有其他數學家採用不同的方式，得到同樣的結論。）不過這是另外的故事了。
We do not know, we shall not know？
這樣說，圖靈證明停機問題是不可計算的，那停機問題到底有多「不可計算」？換個說法，到底有多難？設可計算問題的難度為0，有沒有比可計算問題難一點，比停機問題簡單一點的問題？有沒有比停機問題更難的問題？衡量這個「難度」的級別，被定義為「圖靈度」。數學家證明了，圖靈度的個數不可數，所有圖靈度組成了一個複雜但有序的結構。想像一個無窮高的樓梯，這裡只有地面是可計算問題，而這個無窮樓梯甚至是有殘疾人坡道的，就是說，連續的圖靈度。呵呵呵，雖然我自己都不知道我自己說的是什麼，可是，我們是可以研究「不可計算問題」的。
我覺得，假設有人給數學家提供了一個既不能證明、也不能證否的問題（嚴肅問題，不是噴火龍哈），那麼數學家一定是很興奮的。希爾伯特第一問題（稱之為CH）被證明：在現有公理系統「不能證明，也不能證否」，即獨立於現有公理系統。你可以簡單地說它對，或者錯，當然也可以繼續研究：「假設CH成立，那麼…」，當然，這也是建立新的公理系統的契機。
朗蘭茲綱領誕生於跨系統、跨數學分支的研究，它是一組意義深遠的猜想，揭示了數學各分支學科之間深刻的聯繫，橫貫整個數學世界。許多人相信，只要完成了朗蘭茲綱領中的工作，就可以實現數學的大一統。這是數學家的夢想。
套用古老的「知識的圓圈」，知道的越多，未知也越多。無須庸人自擾，我們實實在在的擴展，不是嗎？
回到哥德爾證明，我們將通過三個悖論，趨近哥德爾的思路。第一個，「這句話是假的」，真還是假？