長期以來,數學只是少數數學家能創造、理解、欣賞乃至學會的知識和技能,隨著社會和科學技術的進步,社會對於數學的需求越來越大、越來越高、越來越深.這勢必導致數學的專業化、數學的職業化,也就是要求有一定數量的人專門搞數學,而且隨著數學領域的擴大越來越專、越來越精,職業數學家應運而生.數學家不再是少數天才的偶然湧現,而是植根於社會土壤之中。沒有社會為數學家的培養、成長及出路創造條件,出現數學家特別是出色的數學家的可能性越來越小,數學家越來越成為社會化的產物。反過來,隨著數學社會化的增強,數學家在社會乃至政治生活中也會起越來越大的作用。
數學家的數量結構
數學家是創造、傳播、應用數學知識的主力。在很大程度上來說，數學是數學家的個人創造,理解數學也要靠數學家的著作及講授,因此可以通過著作來識別數學家。歷史上究竟有多少位數學家很難精確的統計,18 世紀以前的數學家難以確定，應該不足500人；而19世紀和20世紀的數學家絕大多數是職業數學家(非業餘數學家)及專業數學家(而非橫跨許多領域的科學家)。有人做過一個簡單的估計:
1940-1989年發表的論著超過100萬篇1900-1940年發表的論著不超過10萬篇1900年以前發表的論著不超過10萬篇由此也能大略的看出，數學家人數和成果的集中年代。到目前為止數學家的總人數可能累計有超過10萬(不確定)。但是有一更準確的是：不到100位的領袖級的數學家對數學的貢獻佔到了一半，如高斯、柯西、黎曼、希爾伯特等；人數擴大到1000時，這些精英數學家對數學的貢獻會超過90%；而人數擴大到10000的部分專業或職業數學家，幾乎決定了當代的數學面貌；其餘的群眾數學家可能一生沒什麼建樹。當然這種數學家的劃分界限是模糊的、主觀的。
至於數學家的分布，理論上講應該與種族、民族、膚色、性別與國籍等沒有顯著相關性。基於不同的社會背景、文化、歷史傳統等原因，數學家的人口結構會有變化。比如性別比例中，歷史上知名的女數學家是屈指可數。而從國家和地區的角度來看，全球170多個國家和地區，只有50多個國家和地區參加國際數學聯盟，而其餘國家和地區在數學上幾乎沒貢獻；而從民族上講，猶太數學家相對於猶太的比例是很大的；所有這些都是科學社會學研究的主題。
數學家的成長之路
現在，絕大多數的數學家的成長道路大同小異。始於對數學的愛好和興趣，表現出對已有數學的一些理解，開始有些創造性的工作。然後經過一定的訓練和培養，逐步成為成熟的數學家，一般走上職業數學家的道路。最後是在學術階梯上逐步攀登,在學術界及社會上產生影響。
基於不同的社會條件和背景,只有極少數天才能順利地脫頸而出,如高斯及馮·諸伊曼,許多天才需要戰勝當時社會的愚味和偏見,如阿貝爾及伽羅瓦,但更大多數數學家幾乎都是按部就班地成為數學家的，算不上天才。
數學家開始做出他們第一個重要成果的時間不大一樣,只有極少數的天才在20歲之前能有創造性的成果。
帕斯卡:《圓錐曲線論》.帕斯卡定理(1640)克萊洛:(A.C. Clairaut,1713-1765),《撓曲線的解析研究》(1731)高斯:正十七邊形(1796)伽羅瓦:代數方程和置換群論(1830)閔可夫斯基:二次型理論馮·諾伊曼:序數理論(1922)阿諾德(B.H. ApHOJIbB,1937-2010):希爾伯特第13問題(1956)在20歲到25歲之間做出重大貢獻的也不太多:
牛頓:微積分概念(1665)高斯:《算術研究》,計算小行星軌道(1801)阿貝爾:代數方程及橢圓函數(1824-1826)雅可比:橢圓函數(1827)愛森斯坦:數論(1844)克萊茵:埃爾蘭根綱領(1872)龐加萊:自守函數論(1878)拉姆塞:邏輯及組合理論(1925-1929)蓋爾芳德:在希爾伯特第七問題首先取得突破(1929)史尼列爾曼:密率理論和範疇理論(1930)哥德爾:完全性定理及不完全性定理(1930,1931)配萊:調和分析(1933)格羅登迪克:局部凸空間理論(1953)米爾諾:7 維球面上的奇異微分結構(1956)費弗曼:哈代空間H與 BMO 對偶關係(1971)無疑,在25歲之前做出大貢獻的數學家大都具有非凡的創造性，在接下來的數學事業中也很可能會成為第一流大數學家。大多數數學家在25歲到30歲之間開始嶄露頭角：
黎曼:幾何函數論及黎曼幾何觀念(1851,1854)康託:集合觀念(1873)林德曼:證明圓周率的超越性(1882)希爾伯特:不變式論基本定理(1888)E·嘉當:復單李代數分類(1894)勒貝格:測度及積分論(1902)伯克霍夫:證明龐加萊最後定理(1913)阿廷:一般互反律(1927)耐凡林納:亞純函數值分布論(1925)柯爾莫哥洛夫:概率論公理化(1933)惠特尼:微分流形理論(1936)索保列夫:廣義解概念(1936)蓋爾範德:賦范環(1936)塞爾:同倫論、多複變函數(1951-1955)羅斯:代數數的有理逼近(1955）科恩:連續統假設的獨立性(1963）陶哲軒:多個領域突破性的成就(2001-2005)30到40歲是數學家的黃金時代,是數學家思想上成熟、工作上多產的時期,大量的數學家是在該年齡階段完成各自一些最好的工作。如庫姆爾對費馬大定理的突破,李得出變換群觀念,阿達馬對素數定理的證明,巴拿赫的線性賦范空間理論,小平邦彥在代數幾何學的系列成就,阿蒂雅辛格得出指標定理等,陳省身,吳文俊在這個時期得出高斯邦內公式的推廣以及陳示性類的,華羅庚、吳文俊在這段時期的研究也是廣泛而多產。
一般40歲到50歲開始走下坡路，儘管如此，只要沿著原來熟悉的路走下去,仍會有大的發展,如E·諸特建立抽象代數學,維爾斯證明費馬大定理。
一般50歲以上的數學家不太容易接受新思想和改變自己原有的思維模式,在環境條件比較優越的情況下，仍然會有數學家在這個年齡段能有新的創造,例如,埃爾米特50歲證明e是超越數；外爾斯特拉斯近60歲才發表關於函數論及代數諸多結果。
不敢說數學創造時期是否有上限,丟東涅說,數學家到70歲以上就很難有大的創造了,這也不一定,外爾斯特拉斯關於連續函數的逼近定理是過了70歲才發表的,這個定理不僅本身重要,它還開闢了函數逼近論的新方向。如果說,創造能力到70歲,一位數學家仍然可以是好的數學史家及數學著述家或數學教育家,魏伊、丟東涅、範·德·瓦爾登雖到耄耋之年,仍有大著行世,他們真正可以說是為數學奮鬥終身了。
二戰前後，數學家的成長
數學家成長的過程一般可分為兩個階段,第一階段是學徒階段，該階段一般持續到在導師指導下做出一篇像樣的論文一通常是博士論文為止,第二個階段是成熟階段,該階段還要繼續學習,將自己的潛力發揮到最大限度,成為一個好的數學家。數學家的成長一般通過四個途徑：
自學成才良師指教正規教育參加活動第二次世界大戰以後成長起來的數學家99%以上是通過第三條途徑培養起來的,他們按部就班上小學、中學、大學數學系,畢業後繼續讀研究生取得碩士學位,然後作博士生,作完博士論文,取得博士學位,這標誌社會承認他可以成為一名職業數學家。現在歐洲、北美及日本數學家成長道路都是如此蘇聯的博士要難得多,西方的博士大體相當於蘇聯的副博土。另外,法國的國家博土要比大學博士更難一些,數學家取得博土學士論文導師影響很大,他還通過其他途徑增長他的學識及見識,參加討論班、學術會議也會使他受益匪淺,廣泛地閱讀及交流都對他的成長有好處,因此在歐美,比較順利的情況下,只要自己努力,成長為一名數學家並不困難,當然,許多社會因素如經濟條件、未來職業出路等對於數學家人數自然地進行某種控制及調節。
第二次世界大戰以前,職業數學家要少得多,大多數國家沒有正規的小學、中學、大學、研究院一套完整的培養制度,學習受到多方的條件限制,數學家的成長主要靠自學,高斯以前的數學家大都如此,他們即使接受一些「正規」教育,與後來的數學職業也是不太相干的,正規教育比較成功的是狄利克雷、雅可比以後的德國一些大學的教育培養制度,而19世紀法國大學主要培養工程師及中學教師。英國連學位也沒有,數學家成長也多少靠自己,這種情況一直到第一次世界大戰以後才改變。由數學家的名單可以看出,法國19世紀數學家人數少,質量高,有一些是非正規教育培養不出來的天才一像柯西及龐加菜,而德國模式則是現在西方(也包括東方)培養數學家的摹本,大數學家黎曼、希爾伯特、E·諾特、外爾斯特拉斯都是正規教育的產物由於數量上佔優勢,自然分成三六九等,也不怕大數學家出不來,除非有希特勒式的破壞,這種正規制度總能保證培養數學家的連續性及穩定性。
第二次世界大戰之前,蘇聯及波蘭產生一批大數學家,有的人多少受過正規教育,但許多人的成長得力於集體活動,波蘭一些數學家在兩三個中心的活動導致一批數學家成長,蘇聯魯金學派更是數學家的搖籃,許多數學家還在大學時代就參加魯金的討論班並因解決一些難題而嶄露頭角.當代大數學家蓋爾範德只有初中學歷,他就是在柯爾莫哥洛夫指導下參加討論班活動而成長起來的。
拿到博土學位之後的幾年間對數學家的成熟與否至關重要,有時會決定其一生的學術命運,在這方面,德國的做法也值得注意,一位德國學生拿到博士學位之後,在取得講授資格之前,往往有一兩年到各處去遊學,甚至到外國去,這就大大開闊了他的眼界,接受不同的影響,往往使他的學術思想產生一個飛躍。