漩渦
■梁進
埃舍爾利用很多奇妙的數學曲線作畫。歐拉螺線就是其中之一。
歐拉螺線，也叫羊角螺線和迴旋曲線。這個螺線美麗而又非常實用。它被美國著名微分幾何學家Alfred Gray稱為「最優美的平面曲線之一」。它廣泛應用於衍射計算並且在鐵路和高速公路工程的彎道技術中起重要作用。該曲線開始於原點，以零曲率零斜率向兩邊延伸，曲率隨著其曲線的長度增長而增長，最後曲線收斂於兩個鏡像點或以這兩個鏡像點為圓心的圓。
歐拉螺線之所以以著名數學家歐拉（1707~1783）的名字命名，並不是因為歐拉發現了這個螺線，而是因為歐拉徹底解決了這個螺線的數學問題。這個曲線最早在1694年由詹姆士·貝努利從一個彈性力學問題提出，他寫出了這個曲線的近似方程，但並沒有解出來，也沒有準確地畫出來，甚至沒有任何數值計算。也許他並沒有把這個結果當回事，這個工作也沒有發表。直到1744年，他的侄子尼克拉斯I.伯努利將其整理後發表。同年，歐拉寫出了曲線準確的方程，即這個曲線的參數形式是以菲涅耳積分表達，歐拉還得到其展開式。37年後的1781 年，歐拉利用巧妙地積分變換，找到了曲線的極限點，即將相關的無窮菲涅耳積分的收斂點算出。不僅如此，如果用這個曲線的x 和y 的參數表達式分別作為一個複變函數的實部和虛部，還可以得到很多著名的函數。
這麼有意思的數學曲線，埃舍爾當然不會放過，他將此賦以另一種人文哲學的含義。漩渦（Whirlpools，1957）一圖，兩隊紅色和灰色的魚沿著歐拉曲線相向而遊，分別從歐拉曲線的一個極限點旋轉遊出，由小變大，進入另一個漩區後，再由大變小，旋轉地遊向另一個極限點。寓意著不同世界的人擦肩而行，方向卻是相反，分別奔向另一方的出發點。這讓我想起錢鍾書「被圍困的城堡，城外的人想衝進去，城裡的人想逃出來」之名言。不過我更願意把它理解成兩種世界的循環輪迴。當然兩個世界也可以簡單地穿插行進而過，一如魚鳥在埃舍爾的另一幅畫「兩個相交的平面」（Two Intersecting Planes，1952）中的行為。
《中國科學報》 (2015-02-27 第9版 文化)