三角形的「五心」性質歸納總結

2021-01-08 巧學數學

任何三角形都有五心,分別是重心、垂心、外心、內心、旁心。

重心:三角形三邊中線的交點,為三角形的重心;在三角形的內部;

重心定理:重心到頂點的距離是到對邊中點距離的2倍。

垂心:三角形三邊高線的交點,為三角形的垂心;銳角三角形垂心在內部,直角三角形在直角頂點,鈍角三角形在外部。

外心:三角形三邊垂直平分線的交點,為三角形的外心;銳角三角形的外心在內部,直角三角形在斜邊中點,鈍角三角形在外部;此點為△外接圓的圓心,到三頂點的距離相等,這個距離叫外接圓半徑R.

內心:三角形三內角平分線的交點,為三角形的內心;在三角形的內部,此點為三角形內切圓的圓心,到三邊的距離相等,此距離為內切圓半徑r.

重心、垂心、外心、內心均只有唯一的一點,作圖時只需作出二線,第三線一定過此點。

旁心:三角形相鄰二外角的平分線的交點,為三角形的旁心。任何三角形都有三顆旁心,且不相鄰的內角平分線過旁心,旁心到三邊的距離相等。

到三角形三邊距離相等的點共有四點,內心及旁心。

在初中階段外心、內心我們經常在圓部分接觸和應用,一定要掌握它們的特性,重心、旁心、垂心偶爾接觸只需了解。

下面我們來看兩道例題,希望同學們能夠掌握其中的技巧方法:

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