三角形重心的常用性質

2021-01-17 彭老師microlecture

中午午輔導時學生問了一道題目如下：

例、如圖，G為△ABC的重心。若圓G分別與AC、BC相切，且與AB相交於兩點，則關於△ABC三邊長的大小關係，正確的是（     ）

A、BC<AC     B、BC>AC     C、AB<AC    D、AB>AC

學生說，這題憑感覺是AB>AC，但是卻說不清楚為什麼是這樣。

學生的感覺是對的，但道理何在呢？看來他們對三角形重心的性質了解還不夠深入。事實上，如果將三角形的重心與三個頂點連接起來，將三角形分成三個三角形，這三個三角形的面積是相等的，再由高的大小關係就可得出底的大小關係。

在我們的教材中對於三角形重心的性質闡述的並不多，主要就是三角形的重心將三角形的中線分為2：1的兩部分這樣一條。下面對於上述性質做一簡要證明，並對三角形重心部分性質略作梳理，有興趣的同學可以查閱資料自行探索：

1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1

證明：略

2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等

證明方法：

在△ABC內，三邊為a，b，c，點O是該三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分別為a、b、c邊上的中線。根據重心性質知：

OA'=1/3AA'

OB'=1/3BB'

OC'=1/3CC'

過O，A分別作a邊上高OH'，AH

可知OH'=1/3AH

則，S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC

同理可證S△AOC=1/3S△ABC

S△AOB=1/3S△ABC

所以，S△BOC=S△AOC=S△AOB

3、在平面直角坐標系中，重心的坐標是頂點坐標的算術平均數

即其坐標為[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3]；

4、三角形內到三邊距離之積最大的點

5、卡諾重心定理：若G為三角形ABC的重心,P為三角形ABC所在平面上任意一點，則PA^2+PB^2+PC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3PG^2=1/3(a^2+b^2+c^2)+3PG^2


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