三角形的內角平分線定理及重心性質

2021-01-14 大於號數學


                               三角形內角平分線定理
     我們在學習三角形一章內容時候，已經認識了三角形的三條角平分線交於一點，它們的交點是內心，有關內心的知識我們在圓一章也做了學習。今天我們主要是了解三角形的內角平分線有關的比例性質.

請看下面的命題：

                               三角形的重心性質
在三角形一章我們還知道三角形三邊上的三條中線交於一點，這個交點叫重心。因為每一條中線都把三角形分成面積相等的兩部分，所以我們說中線有等分面積的左右，在很多時候我們用中線來平分三角形的面積。至於在三角形中遇到中線延長一倍的輔助線方法，老師們肯定講過許多次了，這也不是我們今天主要內容。今天我們主要學習與三角形的重心有關的比例問題.



仔細分析上面圖形，你怎麼理解上面的兩條性質呢？你品，你細品……

對於第一條性質，你打算怎麼證明呢？

對於第二條性質，我在這裡就不給證明了，聰明的讀者們，你們也可以自己證明一下哦！

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將軍飲馬練習（1）

將軍飲馬練習（2）

將軍飲馬練習（3）

將軍飲馬（4）

將軍飲馬練習（5）

將軍飲馬練習（6）

將軍飲馬練習（7）

將軍飲馬練習（8）

將軍飲馬（9）之沿河飲馬 

將軍飲馬（10）之沿河飲馬

逆等線小專題

雙法有奇效——將軍飲馬+逆等線（1）

雙法有奇效——將軍飲馬+逆等線（2）


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  • 三角形的「五心」性質歸納總結
    任何三角形都有五心，分別是重心、垂心、外心、內心、旁心。重心：三角形三邊中線的交點，為三角形的重心；在三角形的內部；重心定理：重心到頂點的距離是到對邊中點距離的2倍。垂心：三角形三邊高線的交點，為三角形的垂心；銳角三角形垂心在內部，直角三角形在直角頂點，鈍角三角形在外部。外心：三角形三邊垂直平分線的交點，為三角形的外心；銳角三角形的外心在內部，直角三角形在斜邊中點，鈍角三角形在外部；此點為△外接圓的圓心，到三頂點的距離相等，這個距離叫外接圓半徑R.
  • 初二上學期,以角平分線為對稱軸構造全等三角形,常見輔助線之一
    在初一的時候，我們學習角平分線需要掌握的知識點為：角平分線將一個角分成相等的兩個角，得到兩個角相等。還有一些結論，我們在前面介紹過三個結論：（1）同為內角平分線；（2）同為外角平分線；（3）一個內角一個外角平分線。在初二上學期，我們又遇到了角平分線，這次結論就比較多了。
  • 三角形各個心的匯總以及性質的證明過程
    三角形有很多的心：內心、外心、重心、垂心、旁心等。這些心都有著自己的性質，是需要我們掌握的，在以後的學習中，提到三角形的的什麼心，我們就要知道它能得出什麼結論，在做題中會給予我們很大的幫助！三角形的內心三角形的內心是三條角平分線的交點，也是三角形內切圓的圓心，內心的性質就是它到三邊的距離相等。證明如圖：這裡的G點就是三角形的內心，也是該三角形內接圓的圓心。三角形的外心三角形的外心就是三條中垂線的交點，也是三角形外接圓的圓心。它的性質就是外心到三角形的三個頂點的距離相等。
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    這道題裡面出現了中線，今天我們想一想三角形有多少線，和它們有關的性質、判定以及定理有哪些… 三角形的中線 在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線。由於三角形有三條邊，所以一個三角形有三條中線。且三條中線交於一點。這點稱為三角形的重心。
  • 與三角形有關的定理
    ②內心：三條角平分線的交點證明已知：△ABC中，∠BAC、∠ABC的角平分線AD，BE交於I，連接CI並延長交AB於F證明：過I作IO、IP、IQ交BC、AC、AB，易證IO=IP=IQ，所以CF是三角形的角平分線。
  • 中考數學——三角形的高、中線和角平分線
    三角形的高1.三角形的高的定義：從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形這邊的高，簡稱三角形的高。如圖1所示： ∵線段AD是BC邊上的高.∴∠ ADC =∠ADB=90°。
  • 中考專題之三角形知識點總結
    三角形相關知識內容初中數學幾何領域最為核心、最為重要的內容之一，這不僅是因為三角形是基本的平面圖形之一，更是由於三角形研究其他圖形的工具和基礎。如要學好多邊形（常見的是四邊形）、圓，那麼首先必須掌握好三角形知識內容，否則在學習其他幾何內容時就會感到特別困難。
  • 初中數學知識點:三角形
    2.三角形中的三條重要線段：角平分線、中線、高   　　(1)角平分線：三角形的一個內角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線。   　　(2)中線：在三角形中，連接一個頂點和它的對邊中點的線段叫做三角形的中線。
  • 三角形重心定義及性質
    重心是三角形三邊中線的交點，三線交一可用燕尾定理證明。證明過程又是塞瓦定理的特例。已知：△ABC中，D為BC中點，E為AC中點，AD與BE交於O，CO延長線交AB於F。　　求證：F為AB中點。　　證明：根據燕尾定理，S△AOB=S△AOC，又S△AOB=S△BOC，∴S△AOC=S△BOC，再應用從中點得AF=BF，命題得證。
  • 初中數學,三角形的垂心、外心、內心、中心、旁心,你都明白嗎?
    分析：這道題出現了三角形的外心還有三角形的垂心，如果我們對三角形的各"心"很清楚的話我們很快就有思路（1）延長AD到F連BF，做OG⊥AF，求出矩形OGDM，求出OM=GD，根據等腰三角形的性質和判定、垂徑定理求出HD=DF，代入求出即可；（2）根據圓周角定理求出∠BOM，根據含30度角的直角三角形性質求出B=2OM即可．下面來看詳細解答過程：證明（1）過O
  • 三角形重心的常用性質
    看來他們對三角形重心的性質了解還不夠深入。事實上，如果將三角形的重心與三個頂點連接起來，將三角形分成三個三角形，這三個三角形的面積是相等的，再由高的大小關係就可得出底的大小關係。在我們的教材中對於三角形重心的性質闡述的並不多，主要就是三角形的重心將三角形的中線分為2：1的兩部分這樣一條。
  • 全面認識三角形(經典收藏)
    2、三角形中的主要線段（1）角平分線：三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段叫做三角形的角平分線。三條平分線交於一點，這一點叫做"三角形的內心"，要區別三角形的「角平分線」及「角的平分線」的區別。「角平分線」是線段，「角的平分線」是射線。
  • 初中階段數學三角形相關知識點匯總,超全
    初中數學中，三角形是必考考點，而有關三角形的知識點也有很多，全等三角形、三角形角平分線、垂直平分線、等腰三角形和等邊三角形、直角三角形、勾股定理等，這些知識點每個都會成為考點，而在解題之前，首先要了解與之相關的性質和定理，今天，黃小將就為大家整理了初中階段有關三角形的知識點，一起來看看吧。
  • 八年級上三角形專題知識點匯總!
    BD＝DC=1/2 BC 注意：三角形的中線是線段； 三角形三條中線全在三角形的內部且交於三角形內部一點(註：這點叫重心：當我們用一條線穿過重心的時候，三角形不會亂晃) 中線把三角形分成兩個面積相等的三角形。
  • 初二數學:三角形第1節知識點+題型+培優,老師和同學不要錯過
    考點1：三角形的有關概念涉及到的知識點有：由不在同一直線上的三條線段首尾順次想接而組成的圖形叫做三角形。考點2：三角形的內角和外角和定理涉及到的知識點有：三角形內角和定理：三角形的內角和為180度。三角形外角和定理：三角形的一個外角的等於和它不相鄰的兩個內角之和。
  • 初中數學圖形的認識定理與公式
    (2)相交線與平行線 　　同角或等角的補角相等，同角或等角的餘角相等； 　　對頂角的性質：對頂角相等 　　垂線的性質： 　　①過一點有且只有一條直線與已知直線垂直； 　　②直線外一點有與直線上各點連結的所有線段中，垂線段最短； 　　線段垂直平分線定義：過線段的中點並且垂直於線段的直線叫做線段的垂直平分線
  • 三角形的內角和為180°,這個定理應該這麼用!
    大家都知道，如果一個多邊形是三角形，那麼它的內角和就為180°。有很多同學對這個定理的應用，很是茫然，不知道如何入手。那麼它有哪些的應用呢？讓我們一起來舉一個例子以說明這個定理是如何在我們題目求解中的得到應用的。