三角形重心問題,數學競賽裡的炮灰題,你會證嗎?

2021-01-08 明德數學角

眾所周知，三角形三條中線的交於一點，這個點就是三角形的重心。

而關於重心，又有很多性質，我們就來說一下重心在中線的位置問題，如圖，在△ABC中，三條中線AF、BD、CE相交於O點，則O點是AF、BD、CE的三等分點。

怎樣證明這個結論呢？我們從重心的定義入手，三條中線交點，也即是說，D、E、F分別是三條邊的中點。通過這個條件，我們可以展開聯想，中點可以引申出什麼有用的結論呢？

我們很可能首先想到了三角形中位線，於是我們連接DE、DF、EF，構造出三條中位線，繼而得出一系列關於中位線的結論，但是卻發現與重心O點沒有聯繫，於是這個思路走不通了。如圖

其實這個思路也不是完全沒有用，O點同時也是△DEF的重心，可以用此圖讓學生練習「三角形相似」的知識點。

那麼到底如何證明O點是中線的三等分點呢？

我們需要作輔助線，如下圖

看到輔助線，我們可以發現圖中的四邊形OBGC是菱形，於是我們根據菱形性質就比較容易進行證明了，過程如下：

我們用此結論可以解決「尺規三等分線段」問題，三等分線段的方法之前講過尺規作圖，我三等分不了一個角，還分不了一條線段嗎？

相關焦點

  • 中考數學複習指導:三角形的重心
    中考數學複習指導：三角形的重心 　　已知：△ABC中，D為BC中點，E為AC中點，AD與BE交於O，CO延長線交AB於F。求證：F為AB中點。 　　證明：根據燕尾定理，S(△AOB)=S(△AOC)，又S(△AOB)=S(△BOC)，∴S(△AOC)=S(△BOC)，再應用燕尾定理即得AF=BF，命題得證。 　　重心的幾條性質： 　　1.重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。 　　2.重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。
  • 利用三角形重心性質渡劫選擇壓軸題
    利用三角形重心性質渡劫選擇壓軸題說起三角形的重心，多數學生都會想到三條中線的交點，然後便是實際應用例如頂起一塊三角形木板之類的問題，卻極少有更深入理解重心與中線之間的數量關係。而在選擇題最後一題，俗稱選擇壓軸題當中，這些「冷門」知識恰恰能派上大用場，甚至非它無解。
  • 三角形重心性質的證明
    三角形重心性質的證明三角形的重心是中學數學中重要知識點，初中平面幾何部分、高中立體幾何部分均有涉及
  • 初中數學三角形中的比值問題
    在歷年中考數學真題中，有一類題目是伴隨始終頻頻出現，這就是有關三角形的線段或者是角度計算問題，今天專門針對三角形的線段比例或者面積比例舉例說明，探索和總結其中的規律。【例1】如圖，G是△ABC的重心，直線L過A點與BC平行．若直線CG分別與AB，L交於D，E兩點，直線BG與AC交於F點，則△AED的面積：四邊形ADGF的面積=（ 　）A 1：2B 2：1C 2：3D 3：2【知識儲備】本題首先要解決的問題是：①什麼是三角形的重心？
  • 2019年初中數學圓的練習之三角形的重心
    G為△ABC的重心.若圓G分別與AC、BC相切，且與AB相交於兩點，則關於△ABC三邊長的大小關係，下列何者正確?() 　　A.BCAC C.ABAC 　　分析：G為△ABC的重心，則△ABG面積=△BCG面積=△ACG面積，根據三角形的面積公式即可判斷.
  • 2020年中考數學複習資料之圓的練習之三角形的重心
    中考網整理了關於2020年中考數學複習資料之圓的練習之三角形的重心，希望對同學們有所幫助，僅供參考。 　　G為△ABC的重心.若圓G分別與AC、BC相切，且與AB相交於兩點，則關於△ABC三邊長的大小關係，下列何者正確?
  • 2018中考數學知識點:三角形的重心公式證明
    重心是三角形三邊中線的交點，三線交一點可用燕尾定理來證明。 　　三角形的重心 　　已知：△ABC中，D為BC中點，E為AC中點，AD與BE交於O，CO延長線交AB於F。求證：F為AB中點。
  • 用6根火柴棒拼出4個等邊三角形?這些數學智力題很有趣,你會嗎?
    數學智力題不同於一般的數學題，其主要表現在趣味性強，並且數學智力題會讓學生們的數學思維得到鍛鍊。這是一種良性的循環。所以，今天小磊老師繼續和各位讀者分享4道數學智力題，其中就有一道題目是：「用6根火柴棒拼出4個等邊三角形」，你會嗎？
  • 全國初中數學競賽題,圖形複雜,包含的信息量大,90%學生做錯了
    同學們好，今天老師為大家分享一道全國初中數學競賽題，這道題目是一道幾何證明題，光從題目所給的圖形來看，就已經很複雜了。這道題其實考查了三角形的五心——垂心。接下來老師就帶領大家先對三角形的五心及其各自的性質進行一下複習：三角形五心定理三角形的重心，外心，垂心，內心和旁心稱之為三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，內心定理，旁心定理的總稱。
  • 網友為小學數學競賽題吵翻天:到底有幾個三角形?
    近日，在日本的Twitter上又發生了一起群撕事件，而誘因竟是一張圖片，準確地說，應該是一道小學數學競賽題。正如你所見，這是一道數數題，問這張圖裡你能看到出幾個三角形？據說只有IQ120以上的天才可以看到18個以上。
  • 周十五精煉數學:重錘模型巧解三角形邊長問題
    它，就是令同學們聞風喪膽的三角形邊長問題，而今天，周十五精煉數學將教會大家用一個方法——重錘模型，把這道「送命題」，成功變成「送分題」。這裡先用兩道中考真題帶領大家具體感受一下這類題型:（17江蘇 選擇壓軸）如圖，△ABC的兩條中線BF，AE相交於M，AM⊥BM，若AM=3，CM=5，則△ABC面積為（）。
  • 2021年中考數學知識點之三角形的重心的性質
    中考網整理了關於2021年中考數學知識點之三角形的重心的性質，希望對同學們有所幫助，僅供參考。 　　1.重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。 　　2.重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。 　　3.重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。
  • 數學競賽-超詳細學習方法與課程分享
    可能模擬會稍難一些，但是真正考聯賽的時候會比較緊張，也有可能會出現低級失誤。在稍稍進步一些之後，實際上你己經可以做出一部分聯賽二試難度的題目了，但是穩定性卻不能保證。這個時候，比較重要的是補充短板。可以看之後的具體分支中的書。關於備戰二試較難的題目和 CMO 以上級別的考試，強烈推薦單蹲的 《 數學競賽研究教程 》。
  • 分享一道小學數學競賽題,求陰影部分的面積,關鍵是面積的轉換
    今天數學世界為大家分享一道小學數學圖形題，求陰影部分的面積，此題難度較大，屬於小學競賽題，但是並沒有超綱。如果你是來到這裡的新朋友，請翻看數學世界以前發布的文章，希望能夠對廣大學生的學習和備考有一些幫助，請持續關注我們，謝謝！ 下面，數學世界要講解的題目涉及到的知識點主要就是等底等高的三角形面積的轉換，圓的認識與計算以及對稱圖形的相關知識等。
  • 初中數學:求直角三角形斜邊上的角平分線,你會幾種方法?
    我們知道，直角三角形斜邊上的中線，等於其斜邊的一半。那麼，直角三角形斜邊上的角平分線，你會求嗎？本文舉一例，提供四種方法，來探討這個問題。例題：如圖，在直角三角形△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，∠A=60°，CD平分∠ACB，若AD=2，則CD=__________先來分析本題：這是個「好」直角三角形，帶有，∠B=30°，∠A=60°，而且由CD平分∠ACB得到∠ACD=∠BCD=45°，本題自帶很多特殊角，可以為我所用，方便計算：
  • 三角形重心定義及性質
    重心是三角形三邊中線的交點，三線交一可用燕尾定理證明。證明過程又是塞瓦定理的特例。已知：△ABC中，D為BC中點，E為AC中點，AD與BE交於O，CO延長線交AB於F。　　求證：F為AB中點。　　證明：根據燕尾定理，S△AOB=S△AOC，又S△AOB=S△BOC，∴S△AOC=S△BOC，再應用從中點得AF=BF，命題得證。
  • 高考數學常考題,橢圓題,重心的妙用——聯結韋達定理的紐帶
    一旦在三角形中給出這樣的向量關係，則O就是三角形BCD的重心。詳細證明過程可見在△ABC中有向量GA+向量GB+向量GC=0向量能得出一個什麼樣的已知？這裡的重心O恰好是坐標原點，那如何將這個坐標原點和韋達定理連接起來，如何又將該坐標原點和三角形BCD面積連接起來呢？
  • 腦洞全開:一道初中數學競賽題的多種解法
    難度提示：競賽專享，普通學生勿入！題：（2003年日本初中競賽題）如圖，在△ABC中取一點D，使得∠DBA=30度，∠DBC=42度，∠DCA=18度，∠DCB=54度，請求出∠BAD的度數。法2：設BC=2，易證AD平方=AM·AB，故ADM=30度。法3：（圖略）過A作BD的垂線交BD的延長線於E，作AB的垂直平分線分別交AB、BE、AC於F、G、H，連接BH，則AH＝BH＝BC，由「HL」易證ADE全等於AHF。得解（∠BAD＝24度）。
  • 一道初中數學競賽題:正確率不到5%,網友質疑答案有問題
    整體思想是中學數學非常重要的思維模式。在很多題目中，用整體思維解題不僅可以減少計算量，還可以避免出現漏解的情況。比如今天和大家分享的這道經典的初中數學競賽題：已知a^6+a^7+a^8=0，求a^99的值。現在讓初中生來做正確率都不到5%，甚至有網友質疑答案有問題。
  • 一道全國初中數學競賽題:求AC的長,看似簡單,正確率卻不足10%
    大家好，今天和大家分享一道全國初中數學競賽題：在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠B=15°，BC=1，求AC的長度？這道題目看起來很簡單，但是據說正確率卻不足10％。下面我們一起來看一下這道題，如圖1。