一道初中數學競賽題:正確率不到5%,網友質疑答案有問題

整體思想是中學數學非常重要的思維模式。在很多題目中，用整體思維解題不僅可以減少計算量，還可以避免出現漏解的情況。比如今天和大家分享的這道經典的初中數學競賽題：已知a^6+a^7+a^8=0，求a^99的值。現在讓初中生來做正確率都不到5%，甚至有網友質疑答案有問題。

下面一起來看一下這道題。

不少人看到題目後都認為這是一道送分題，因為很明顯a=0，所以答案就是0。但是真的是這樣嗎？

先將題目中的已知條件進行變形，提出a^7，則變為a^7(1+a+a )=0，所以a=0或者a +a+1=0。

a=0大家都沒有問題，但是a +a+1=0，不少人一看判別式小於零，所以認為沒有解了。

那麼我們先一道日本的初中數學競賽題：已知a +5a+25=0，求a 。這道題中判別式也是小於零的，那麼是不是這道題就沒有解了？當然不是，這實際上也是考的整體思想。

將a 寫成a ·a，再將題幹中的等式變形後代入計算就可以求出a 的值，而不需要求出a的具體值，這就是整體思想的體現。

本題也是一樣，可以先求出a 的值：a =a ·a=(-a-1)a=-(a +a)=1，所以a^99=(a )^33=1。過程如下：

計算到a +a+1=0這一步時，除了可以用上面的循環代入，還可以用立方差公式(a -b =(a-b)(a +ab+b ))求解。

因為a +a+1=0，所以兩邊同時乘以(a-1)時就變成了(a-1)(a +a+1)=0，左邊剛好是一個立方差的展開式，計算出來就是a -1=0，所以a =1。

對於「1」這個答案，有人質疑是錯誤的。因為a =1，所以a=1，代入題幹明顯不成立。

其實，在實數範圍內，a =1時a=1是成立的，但是在複數範圍內還有其他的解。根據複數的定義，i =-1，那麼如果a=(-1+√3i)/2，計算出來後a 還是等於1。

看到這兒，有網友說a^99=1這個答案也是超綱了，初中根本沒有學習複數，默認就是實數範圍內的數。但是不要忘了整體思想也是初中數學的重要思想，題目並不需要懂得複數，採用整體代入的方法還是可以得到答案。所以並不算超綱題。

這道題的正確率並不高，就是大部分考生忽略了a^99為「1」這個答案，如果是你，你能得到滿分嗎？