向量的應用(一)——從三角形重心說起

向量是個「神奇」的工具。

今天，我們利用它研究與三角形重心、外心、垂心有關的性質。

1. 證明：三角形三條中線共點（重心）。

證明：如圖，設△ABC的三邊BC、CA、AB的中點分別為D、E、F，設中線AD∩BE=G；

所以三條中線AD、BE、CF共點G（稱為重心）；並且重心G是中線上靠近中點的三等分點。

由上面的證明可知重心G滿足（O為任一點）：

符合重心的物理意義。

2. 證明：三角形三條高線共點（垂心）。

證明：如圖，設△ABC的三邊BC、CA、AB的高分別為AD、BE、CF，設AD∩BE=H，下證CH⊥AB，則C、H、F三點共線，從而三條高共點。

3. 證明：三角形的外心、重心、垂心三點共線。

證明：如圖，設O、G、H分別是△ABC的外心、重心、垂心，延長AO交圓O於點D，由AD是圓O的直徑及H是垂心可知：

BD⊥AB，CD⊥AC，CH⊥AB，BH⊥AC；∴BHCD是平行四邊形；

O、G、H所在的直線叫歐拉線，我們順便探究一下與歐拉線有關的性質，感受一下這個性質的「神奇」之處：

如圖，設AB邊中點為F，CH∩AB=F'，AD∩CH=C'，C'F∩OH=O'；

同理，如下圖，設AB邊中點為D，AH∩BC=D'，線段AH中點為A'；CA邊中點為E，BH∩AC=E'，線段BH中點為B'；可證O'到D、D'、A'、E、E'、B'三點距離相等，都等於△ABC外接圓半徑的一半。

綜上可知，三角形三邊中點（D、E、F）、三頂點在對邊上的射影（D'、E'、F'）、三頂點與垂心連線段的中點（A'、B'、C'）這九個點共圓（通常稱為三角形的「九點圓」），且該圓的圓心是歐拉線段的中點，半徑是原三角形外接圓半徑的一半。

如此精彩的結論不知能否引起你的興趣？上面兩圖中包含的「信息」很多，與歐拉線有關的性質也很豐富，大家可以自己探索學習，幾何的「絢麗」一定會帶給你前所未有的震撼！

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