導讀：本章摘自獨立學者靈遁者量子力學科普書籍《見微知著》。此文旨在幫助大家認識我們身處的世界。世界是確定的，但世界的確定性不是我們能把我的。
玻色和愛因斯坦也發展了玻色—愛因斯坦統計，這是物理史上的美談。
今天我們就來理解和認識一下什麼叫玻色—愛因斯坦統計？為什麼玻色子服從這樣的統計？
這個理論開始於沒錯的錯誤。大概故事是這樣的：有一次玻色在達卡大學講課，課題是光電效應及紫外災變，玻色打算向學生展示當時理論的不適之處，因為理論預測的結果跟實驗不符。在講課期間，玻色在應用理論時犯了錯，意想不到的是居然得出一個跟實驗一致的預測。（他後來將講課內容改寫成了一篇論文，叫《普朗克定律與光量子假說》。）
那錯誤是一個很簡單的錯──跟認為擲兩枚硬幣得兩正面的概率是三分之一是一樣的【實際概率為四分一】──任何對統計學有一點基礎理解的人都知道有問題。
然而預測結果跟實驗吻合，使玻色意識到事有蹊蹺。他首次提出麥克斯韋-玻爾茲曼分布對微觀粒子不會成立，這是因為由海森堡測不準原理【粒子的位置與動量不可同時被確定，位置的不確定性越小，則動量的不確定性越大，反之亦然。】所導致的變動此時會大得足夠構成影響。故此他強調在每個體積為h3的相空間中找到粒子的概率，而捨棄粒子不同的位置和動量。
好幾份物理學刊都沒有為玻色發表論文。他們認為他所展現的是一個簡單錯誤，這樣玻色的發現被忽略了。灰心的他寫了封信給愛因斯坦，愛因斯坦馬上就同意他的觀點。
愛因斯坦親自寫了一篇支持玻色理論的論文，遞予《德國物理學刊》發表，並要求將這兩篇論文一同發表，此時玻色的理論終於受到推崇。這是1924年的事。
玻色早前曾經把愛因斯坦的廣義相對論論文從德語翻譯成英語。有人說玻色把愛因斯坦當成他的「導師」。
玻色的「錯誤」能得出正確結果，這是因為光子們是不能被分辨出來的，也就是不能把任何兩個同能量的光子當作兩個能被明確識別的光子。
比方說，如果在另一個宇宙裡，硬幣表現得像光子及其他玻色子一樣，擲出兩正的概率的確是三分之一（正反=反正）。玻色的「錯誤」現在被稱為玻色-愛因斯坦統計。
愛因斯坦採取了這個概念，並把它延伸到原子去。這為預測某個現象的存在鋪好了路，這個現象就是現在的玻色-愛因斯坦凝聚，在這現象中一組高密度的玻色子（自旋為整數的粒子，以玻色命名）在超低溫狀態中會成為玻色-愛因斯坦凝聚態，於1995年被實驗所證實。
玻色的貢獻在於打破了麥克斯韋-玻爾茲曼分布，認為這個統計和分布不適用於微觀粒子。
那麼麥克斯韋-玻爾茲曼分布是一個什麼理論呢？其實這個在經典物理學發展史中，有提到的，細心的朋友肯定還記得。
麥克斯韋—玻爾茲曼統計是描述獨立定域粒子體系分布狀況的統計規律。
所謂獨立定域粒子體系指的是這樣一個體系：粒子間相互沒有任何作用，互不影響，並且各個不同的粒子之間都是可以互相區別的，在量子力學背景下只有定域分布粒子體系中的粒子是可以相互區分的，因此這種體系被稱為獨立定域粒子體系。
而在經典力學背景下，任何一個粒子的運動都是嚴格符合力學規律的，有著可確定的運動軌跡可以相互區分，因此所有經典粒子體系都是定域粒子體系，在近獨立假設下，都符合麥克斯韋-玻爾茲曼統計。
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由於量子統計在數學處理上非常困難，因此在處理實際問題時經常引入一些近似條件，使費米-狄拉克統計和玻色-愛因斯坦統計退化成為經典的麥克斯韋—玻爾茲曼統計。
那麼什麼是麥克斯韋—玻爾茲曼分布？麥克斯韋-玻爾茲曼分布是一個概率分布，在物理學和化學中有應用。最常見的應用是統計力學的領域。
任何（宏觀）物理系統的溫度都是組成該系統的分子和原子的運動的結果。這些粒子有一個不同速度的範圍，而任何單個粒子的速度都因與其它粒子的碰撞而不斷變化。然而，對於大量粒子來說，處於一個特定的速度範圍的粒子所佔的比例卻幾乎不變，如此系統處於或接近處於平衡。
這裡舉一個例子，當水分子的運動速度為H時候，水溫是20度。當速度上升為M時候，水溫為80度。
麥克斯韋-玻爾茲曼分布具體說明了這個比例，對於任何速度範圍，作為系統的溫度的函數。它以詹姆斯·克拉克·麥克斯韋和路德維希·玻爾茲曼命名。
相片中的人物就是麥克斯韋，他是電磁學的集大成者。他也是統計物理學的奠基人。可以說是毫不遜色於牛頓的物理學家。
想看看這位牛氣的物理大神給他未婚妻寫的情詩嗎？如下文：
你和我將長相廝守
在生機盎然的春潮裡，
我的神靈已經
穿越如此廣闊的寰宇？
我這就將我的整個生命
導入這生機盎然的春潮，
將真正使三個自我
穿越這世界的廣袤
在這首詩中，麥克斯韋真摯地表達了自己的情愛。 1858年7月4日麥克斯韋與凱薩琳·馬麗·迪尤爾(後來改為克拉克·麥克斯韋姓即改為麥克斯韋的姓，他們結婚時，她34歲——在維多利亞時代已經是一個老處女了。 )正式結婚， 婚禮在阿伯丁舉行。
麥克斯韋-玻爾茲曼分布形成了分子運動論的基礎，它解釋了許多基本的氣體性質，包括壓強和擴散。
麥克斯韋-玻爾茲曼分布通常指氣體中分子的速率的分布，但它還可以指分子的速度、動量，以及動量的大小的分布，每一個都有不同的概率分布函數，而它們都是聯繫在一起的。
麥克斯韋-玻爾茲曼分布可以用統計力學來推導，就是前面提到的麥克斯韋-玻爾茲曼統計。它對應於由大量不相互作用的粒子所組成、以碰撞為主的系統中最有可能的速率分布，其中量子效應可以忽略。由於氣體中分子的相互作用一般都是相當小的，因此麥克斯韋-玻爾茲曼分布提供了氣體狀態的非常好的近似。
在許多情況下（例如非彈性碰撞，比如水滴滴在地面上），這些條件不適用麥克斯韋-玻爾茲曼分布。例如，在電離層和空間等離子體的物理學中，特別對電子而言，重組和碰撞激發（也就是輻射過程）是重要的。如果在這個情況下應用麥克斯韋-玻爾茲曼分布，就會得到錯誤的結果。
另外一個不適用麥克斯韋-玻爾茲曼分布的情況，就是當氣體的量子熱波長與粒子之間的距離相比不夠小時，由於有顯著的量子效應也不能使用麥克斯韋-玻爾茲曼分布。另外，由於它是基於非相對論的假設，因此麥克斯韋-玻爾茲曼分布不能做出分子的速度大於光速的概率為零的預言。
所以在一些彈性碰撞【在理想情況下，物體碰撞後，形變能夠恢復，不發熱、發聲，沒有動能損失，這種碰撞稱為彈性碰撞。又稱完全彈性碰撞。】中要使用玻色—愛因斯坦統計，玻色—愛因斯坦分布。
因為真正的彈性碰撞只在分子、原子以及更小的微粒之間才會出現。所以說玻色的貢獻是突破性的。真正深入到量子物理層次。不像麥克斯韋-玻爾茲曼分布那樣還要考慮量子效應。
玻色-愛因斯坦統計是一種玻色子所依從的統計規律。根據量子力學，玻色子是自旋為整數的粒子，其本徵波函數對稱，在玻色子的某一個能級上，可以容納無限個粒子。因而符合玻色-愛因斯坦統計分布的粒子，當他們處於某一分布
（「某一分布」指這樣一種狀態：即在能量
的能級上同時有
個粒子存在著。
不難想像，當從宏觀觀察體系能量一定的時候，從微觀角度觀察體系可能有很多種不同的分布狀態，而且在這些不同的分布狀態中，總有一些狀態出現的機率特別的大，而其中出現機率最大的分布狀態被稱為最可幾分布。這時體系總狀態數為：
摘自獨立學者靈遁者量子力學科普書籍《見微知著》