前言
R是作為統計語言，生來就對數學有良好的支持，一個函數就能實現一種數學計算，所以用R語言做數學計算題特別方便。如果計算器中能嵌入R的計算函數，那麼絕對是一種高科技產品。
本文總結了R語言用於初等數學中的各種計算。
目錄
基本計算
三角函數計算
複數計算
方程計算
1 基本計算四則運算: 加減乘除, 餘數, 整除, 絕對值, 判斷正負
> a<-10;b<-5# 加減乘除> a+b;a-b;a*b;a/b[1] 15[1] 5[1] 50[1] 2# 餘數,整除> a%%b;a%/%b[1] 0[1] 2# 絕對值> abs(-a)[1] 10# 判斷正負> sign(-2:3)[1] -1 -1 0 1 1 1
數學計算: 冪, 自然常用e的冪, 平方根, 對數
> a<-10;b<-5;c<-4# 冪> c^b;c^-b;c^(b/10)[1] 1024[1] 0.0009765625[1] 2# 自然常數e> exp(1)[1] 2.718282# 自然常數e的冪> exp(3)[1] 20.08554# 平方根> sqrt(c)[1] 2# 以2為底的對數> log2(c)[1] 2# 以10為底的對數> log10(b)[1] 0.69897# 自定義底的對數> log(c,base = 2)[1] 2# 自然常數e的對數> log(a,base=exp(1))[1] 2.302585# 指數對數操作> log(a^b,base=a)[1] 5> log(exp(3))[1] 3
比較計算: ==, >, <, !=, <=, >=, isTRUE, identical
> a<-10;b<-5# 比較計算> a==a;a!=b;a>b;a<=b;a>=c[1] TRUE[1] TRUE[1] TRUE[1] FALSE[1] FALSE[1] TRUE# 判斷是否為TRUE> isTRUE(a)[1] FALSE> isTRUE(!a)[1] FALSE# 精確比較兩個對象> identical(1, as.integer(1))[1] FALSE> identical(NaN, -NaN)[1] TRUE> f <- function(x) x> g <- compiler::cmpfun(f)> identical(f, g)[1] TRUE
邏輯計算： &, |, &&, ||, xor
> x<-c(0,1,0,1)> y<-c(0,0,1,1)# 只比較第一個元素 &&, ||> x && y;x || y[1] FALSE[1] FALSE# S4對象的邏輯運算，比較所有元素 &, |> x & y;x | y[1] FALSE FALSE FALSE TRUE[1] FALSE TRUE TRUE TRUE# 異或> xor(x,y)[1] FALSE TRUE TRUE FALSE> xor(x,!y)[1] TRUE FALSE FALSE TRUE
約數計算： ceiling,floor,trunc,round,signif
# 向上取整> ceiling(5.4)[1] 6# 向下取整> floor(5.8)[1] 5# 取整數> trunc(3.9)[1] 3# 四捨五入> round(5.8)# 四捨五入,保留2位小數> round(5.8833, 2)[1] 5.88# 四捨五入,保留前2位整數> signif(5990000,2)[1] 6e+06
數組計算： 最大, 最小, 範圍, 求和, 均值, 加權平均, 連乘, 差分, 秩，,中位數, 分位數, 任意數，全體數
> d<-seq(1,10,2);d[1] 1 3 5 7 9# 求最大值，最小值,範圍range> max(d);min(d);range(d)[1] 9[1] 1[1] 1 9# 求和,均值> sum(d),mean(d)[1] 25[1] 5# 加權平均> weighted.mean(d,rep(1,5))[1] 5> weighted.mean(d,c(1,1,2,2,2))[1] 5.75# 連乘> prod(1:5)[1] 120# 差分> diff(d)[1] 2 2 2 2# 秩> rank(d)[1] 1 2 3 4 5# 中位數> median(d)[1] 5# 分位數> quantile(d)0% 25% 50% 75% 100%1 3 5 7 9# 任意any，全體all> e<-seq(-3,3);e[1] -3 -2 -1 0 1 2 3> any(e<0);all(e<0)[1] TRUE[1] FALSE
排列組合計算: 階乘, 組合, 排列
# 5!階乘> factorial(5)[1] 120# 組合, 從5個中選出2個> choose(5, 2)[1] 10# 列出從5個中選出2個的組合所有項> combn(5,2) [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10][1,] 1 1 1 1 2 2 2 3 3 4[2,] 2 3 4 5 3 4 5 4 5 5# 計算0:10的組合個數> for (n in 0:10) print(choose(n, k = 0:n))[1] 1[1] 1 1[1] 1 2 1[1] 1 3 3 1[1] 1 4 6 4 1[1] 1 5 10 10 5 1[1] 1 6 15 20 15 6 1[1] 1 7 21 35 35 21 7 1[1] 1 8 28 56 70 56 28 8 1[1] 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1[1] 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1# 排列，從5個中選出2個> choose(5, 2)*factorial(2)[1] 20
累積計算: 累加, 累乘, 最小累積, 最大累積
# 累加> cumsum(1:5)[1] 1 3 6 10 15# 累乘> cumprod(1:5)[1] 1 2 6 24 120> e<-seq(-3,3);e[1] -3 -2 -1 0 1 2 3# 最小累積cummin> cummin(e)[1] -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3# 最大累積cummax> cummax(e)[1] -3 -2 -1 0 1 2 3
兩個數組計算: 交集, 併集, 差集, 數組是否相等, 取唯一, 查匹配元素的索引, 找重複元素索引
# 定義兩個數組向量> x <- c(9:20, 1:5, 3:7, 0:8);x [1] 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5[18] 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 8> y<- 1:10;y[1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10# 交集> intersect(x,y)[1] 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8# 併集> union(x,y) [1] 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5[18] 6 7 0 8# 差集，從x中排除y> setdiff(x,y) [1] 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0# 判斷是否相等> setequal(x, y)[1] FALSE# 取唯一> unique(c(x,y)) [1] 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5[18] 6 7 0 8# 找到x在y中存在的元素的索引> which(x %in% y) [1] 1 2 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 25 26 27 28[18] 29 30 31> which(is.element(x,y)) [1] 1 2 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 25 26 27 28[18] 29 30 31# 找到重複元素的索引> which(duplicated(x)) [1] 18 19 20 24 25 26 27 28 29 30
2 三角函數計算2.1 三角函數
在直角三角形中僅有銳角（大小在0到90度之間的角）三角函數的定義。給定一個銳角θ，可以做出一個直角三角形，使得其中的一個內角是θ。設這個三角形中，θ的對邊、鄰邊和斜邊長度分別是a、b和h。
三角函數的6種關係：正弦,餘弦,正切,餘切,正割,餘割。
θ的正弦是對邊與斜邊的比值：sin θ = a/h
θ的餘弦是鄰邊與斜邊的比值：cos θ = b/h
θ的正切是對邊與鄰邊的比值：tan θ = a/b
θ的餘切是鄰邊與對邊的比值：cot θ = b/a
θ的正割是斜邊與鄰邊的比值：sec θ = h/b
θ的餘割是斜邊與對邊的比值：csc θ = h/a
三角函數的特殊值：
函數 0 pi/12 pi/6 pi/4 pi/3 5/(12*pi) pi/2sin 0 (sqrt(6)-sqrt(2))/4 1/2 sqrt(2)/2 sqrt(3)/2 (sqrt(6)+sqrt(2))/4 1cos 1 (sqrt(6)+sqrt(2))/4 sqrt(3)/2 sqrt(2)/2 1/2 (sqrt(6)-sqrt(2))/4 0tan 0 2-sqrt(3) sqrt(3)/3 1 sqrt(3) 2+sqrt(3) NAcot NA 2+sqrt(3) sqrt(3) 1 sqrt(3)/3 2-sqrt(3) 0sec 1 sqrt(6)-sqrt(2) sqrt(3)*2/3 sqrt(2) 2 sqrt(6)-sqrt(2) NAcsc NA 2 sqrt(2) sqrt(3)*2/3 sqrt(6)-sqrt(2) 1 NA
三角基本函數: 正弦,餘弦,正切
# 正弦> sin(0);sin(1);sin(pi/2)[1] 0[1] 0.841471[1] 1# 餘弦> cos(0);cos(1);cos(pi)[1] 1[1] 0.5403023[1] -1# 正切> tan(0);tan(1);tan(pi)[1] 0[1] 1.557408[1] -1.224647e-16
接下來，我們用ggplot2包來畫出三角函數的圖形。
# 加載ggplot2的庫> library(ggplot2)> library(scales)
三角函數畫圖
# x坐標> x<-seq(-2*pi,2*pi,by=0.01)# y坐標> s1<-data.frame(x,y=sin(x),type=rep('sin',length(x)))# 正弦> s2<-data.frame(x,y=cos(x),type=rep('cos',length(x)))# 餘弦> s3<-data.frame(x,y=tan(x),type=rep('tan',length(x)))# 正切> s4<-data.frame(x,y=1/tan(x),type=rep('cot',length(x)))# 餘切> s5<-data.frame(x,y=1/sin(x),type=rep('sec',length(x)))# 正割> s6<-data.frame(x,y=1/cos(x),type=rep('csc',length(x)))# 餘割> df<-rbind(s1,s2,s3,s4,s5,s6)# 用ggplot2畫圖> g<-ggplot(df,aes(x,y))> g<-g+geom_line(aes(colour=type,stat='identity'))> g<-g+scale_y_continuous(limits=c(0, 2))> g<-g+scale_x_continuous(breaks=seq(-2*pi,2*pi,by=pi),labels=c("-2*pi","-pi","0","pi","2*pi"))> g
2.1 反三角函數
基本的反三角函數定義：
反三角函數 定義 值域arcsin(x) = y sin(y) = x - pi/2 <= y <= pi/2arccos(x) = y cos(y) = x 0 <= y <= pi,arctan(x) = y tan(y) = x - pi/2 < y < pi/2arccsc(x) = y csc(y) = x - pi/2 <= y <= pi/2, y!=0arcsec(x) = y sec(y) = x 0 <= y <= pi, y!=pi/2arccot(x) = y cot(y) = x 0 < y < pi
反正弦,反餘弦,反正切
# 反正弦asin> asin(0);asin(1)[1] 0[1] 1.570796 # pi/2=1.570796# 反餘弦acos> acos(0);acos(1)[1] 1.570796 # pi/2=1.570796[1] 0# 反正切atan> atan(0);atan(1)[1] 0[1] 0.7853982 # pi/4=0.7853982
反三角函數畫圖
# x坐標> x<-seq(-1,1,by=0.005)# y坐標> s1<-data.frame(x,y=asin(x),type=rep('arcsin',length(x)))> s2<-data.frame(x,y=acos(x),type=rep('arccos',length(x)))> s3<-data.frame(x,y=atan(x),type=rep('arctan',length(x)))> s4<-data.frame(x,y=1/atan(x),type=rep('arccot',length(x)))> s5<-data.frame(x,y=1/asin(x),type=rep('arcsec',length(x)))> s6<-data.frame(x,y=1/acos(x),type=rep('arccsc',length(x)))> df<-rbind(s1,s2,s3,s4,s5,s6)# 用ggplot2畫圖> g<-ggplot(df,aes(x,y))> g<-g+geom_line(aes(colour=type,stat='identity'))> g<-g+scale_y_continuous(limits=c(-2*pi,2*pi),breaks=seq(-2*pi,2*pi,by=pi),labels=c("-2*pi","-pi","0","pi","2*pi"))> g
2.3 三角函數公式
接下來，用單元測試的方式，來描述三角函數的數學公式。通過testthat包，進行單元測試，關於testthat包的安裝和使用，請參考文章：在巨人的肩膀前行 催化R包開發
# 加載testthat包> library(testthat)# 定義變量> a<-5;b<-10
平方和公式:
expect_that(sin(a)^2+cos(a)^2,equals(1))
和角公式
sin(a+b) = sin(a)*cos(b)+sin(b)*cos(a)
sin(a-b) = sin(a)*cos(b)-sin(b)*cos(a)
cos(a+b) = cos(a)*cos(b)-sin(b)*sin(a)
cos(a-b) = cos(a)*cos(b)+sin(b)*sin(a)
tan(a+b) = (tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)*tan(b))
tan(a-b) = (tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)*tan(b))
expect_that(sin(a)*cos(b)+sin(b)*cos(a),equals(sin(a+b)))expect_that(sin(a)*cos(b)-sin(b)*cos(a),equals(sin(a-b)))expect_that(cos(a)*cos(b)-sin(b)*sin(a),equals(cos(a+b)))expect_that(cos(a)*cos(b)+sin(b)*sin(a),equals(cos(a-b)))expect_that((tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)*tan(b)),equals(tan(a+b)))expect_that((tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)*tan(b)),equals(tan(a-b)))
2倍角公式
expect_that(cos(a)^2-sin(a)^2,equals(cos(2*a)))expect_that(2*cos(a)^2-1,equals(cos(2*a)))expect_that(1-2*sin(a)^2,equals(cos(2*a)))
3倍角公式
expect_that(4*cos(a)^3-3*cos(a),equals(cos(3*a)))expect_that(-4*sin(a)^3+3*sin(a),equals(sin(3*a)))
半角公式
sin(a/2) = sqrt((1-cos(a))/2)
cos(a/2) = sqrt((1+cos(a))/2)
tan(a/2) = sqrt((1-cos(a))/(1+cos(a))) = sin(a)/(1+cos(a)) = (1-cos(a))/sin(a)
expect_that(sqrt((1-cos(a))/2),equals(abs(sin(a/2))))expect_that(sqrt((1+cos(a))/2),equals(abs(cos(a/2))))expect_that(sqrt((1-cos(a))/(1+cos(a))),equals(abs(tan(a/2))))expect_that(abs(sin(a)/(1+cos(a))),equals(abs(tan(a/2))))expect_that(abs((1-cos(a))/sin(a)),equals(abs(tan(a/2))))
和差化積
sin(a)*cos(b) = (sin(a+b)+sin(a-b))/2
cos(a)*sin(b) = (sin(a+b)-sin(a-b))/2
cos(a)*cos(b) = (cos(a+b)+cos(a-b))/2
sin(a)*sin(b) = (cos(a-b)-cos(a+b))/2
expect_that((sin(a+b)+sin(a-b))/2,equals(sin(a)*cos(b)))expect_that((sin(a+b)-sin(a-b))/2,equals(cos(a)*sin(b)))expect_that((cos(a+b)+cos(a-b))/2,equals(cos(a)*cos(b)))expect_that((cos(a-b)-cos(a+b))/2,equals(sin(a)*sin(b)))
積化和差
sin(a)+sin(b) = 2*sin((a+b)/2)*cos((a+b)/2)
sin(a)-sin(b) = 2*cos((a+b)/2)*cos((a-b)/2)
cos(a)+cos(b) = 2*cos((a+b)/2)*cos((a-b)/2)
cos(a)-cos(b) = -2*sin((a+b)/2)*sin((a-b)/2)
expect_that(sin(a)+sin(b),equals(2*sin((a+b)/2)*cos((a-b)/2)))expect_that(sin(a)-sin(b),equals(2*cos((a+b)/2)*sin((a-b)/2)))expect_that(2*cos((a+b)/2)*cos((a-b)/2),equals(cos(a)+cos(b)))expect_that(-2*sin((a+b)/2)*sin((a-b)/2),equals(cos(a)-cos(b)))
萬能公式
sin(2*a)=2*tan(a)/(1+tan(a)^2)
cos(2*a)=(1-tan(a)^2)/(1+tan(a)^2)
tan(2*a)=2*tan(a)/(1-tan(a)^2)
expect_that(sin(2*a),equals(2*tan(a)/(1+tan(a)^2)))expect_that((1-tan(a)^2)/(1+tan(a)^2),equals(cos(2*a)))expect_that(2*tan(a)/(1-tan(a)^2),equals(tan(2*a)))
平方差公式
expect_that(sin(a)^2-sin(b)^2,equals(sin(a+b)*sin(a-b)))expect_that(cos(a)^2-sin(b)^2,equals(cos(a+b)*cos(a-b)))
降次升角公式
cos(a)^2=(1+cos(2*a))/2
sin(a)^2=(1-cos(2*a))/2
expect_that((1+cos(2*a))/2,equals(cos(a)^2))expect_that((1-cos(2*a))/2,equals(sin(a)^2))
輔助角公式
expect_that(sqrt(a^2+b^2)*sin(a+atan(b/a)),equals(a*sin(a)+b*cos(a)))
3 複數計算複數，為實數的延伸，它使任一多項式都有根。複數中的虛數單位i，是-1的一個平方根，即i^2 = -1。任一複數都可表達為x + yi，其中x及y皆為實數，分別稱為複數之「實部」和「虛部」。
3.1 創建一個複數
# 直接創建複數> ai<-5+2i;ai[1] 5+2i> class(ai)[1] "complex"# 通過complex()函數創建複數> bi<-complex(real=5,imaginary=2);bi[1] 5+2i> is.complex(bi)[1] TRUE# 實數部分> Re(ai)[1] 5# 虛數部分> Im(ai)[1] 2# 取模> Mod(ai)[1] 5.385165 # sqrt(5^2+2^2) = 5.385165# 取輻角> Arg(ai)[1] 0.3805064# 取軛> Conj(ai)[1] 5-2i
3.2 複數四則運算
加法公式：(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i
減法公式：(a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)i
乘法公式：(a+bi)(c+di) = ac+adi+bci+bidi=ac+bdi^2+(ad+bc)i=(ac-bd)+(ad+bc)i
除法公式：(a+bi)/(c+di) = ((ac+bd)+(bc-ad)i)/(c^2+d^2)
# 定義係數a<-5;b<-2;c<-3;d<-4# 創建兩個複數ai<-complex(real=a,imaginary=b)bi<-complex(real=c,imaginary=d)expect_that(complex(real=(a+c),imaginary=(b+d)),equals(ai+bi))expect_that(complex(real=(a-c),imaginary=(b-d)),equals(ai-bi))expect_that(complex(real=(a*c-b*d),imaginary=(a*d+b*c)),equals(ai*bi))expect_that(complex(real=(a*c+b*d),imaginary=(b*c-a*d))/(c^2+d^2),equals(ai/bi))
3.3 複數開平方根
# 在實數域，給-9開平方根> sqrt(-9)[1] NaN# 在複數域，給-9開平方根> sqrt(complex(real=-9))[1] 0+3i
4 方程計算方程計算是數學計算的一種基本形式，R語言也可以很方便地幫助我們解方程，下面將介紹一元多次的方程，和二元一次方程的解法。
解一元多次方程，可以用uniroot()函數！
4.1 一元一次方程
一元一次方程：a*x+b=0，設a=5，b=10，求x？
# 定義方程函數> f1 <- function (x, a, b) a*x+b# 給a,b常數賦值> a<-5;b<-10# 在(-10,10)的區間，精確度為0.0001位，計算方程的根> result <- uniroot(f1,c(-10,10),a=a,b=b,tol=0.0001)# 列印方程的根x> result$root[1] -2
一元一次方程非常容易解得，方程的根是-2！
以圖形展示方程：y = 5*x + 10
# 創建數據點> x<-seq(-5,5,by=0.01)> y<-f1(x,a,b)> df<-data.frame(x,y)# 用ggplot2來畫圖> g<-ggplot(df,aes(x,y))> g<-g+geom_line(col='red') #紅色直線> g<-g+geom_point(aes(result$root,0),col="red",size=3) #點> g<-g+geom_hline(yintercept=0)+geom_vline(yintercept=0) #坐標軸> g<-g+ggtitle(paste("y =",a,"* x +",b))> g
4.2 一元二次方程
一元二次方程：a*x^2+b*x+c=0，設a=1，b=5，c=6，求x？
> f2 <- function (x, a, b, c) a*x^2+b*x+c> a<-1;b<-5;c<-6> result <- uniroot(f2,c(0,-2),a=a,b=b,c=c,tol=0.0001)> result$root[1] -2
把參數帶入方程，用uniroot()函數，我們就解出了方程的一個根，改變計算的區間，我們就可以得到另一個根。
> result <- uniroot(f2,c(-4,-3),a=a,b=b,c=c,tol=0.0001)> result$root[1] -3
方程的兩個根，一個是-2，一個是-3。
由於uniroot()函數，每次只能計算一個根，而且要求輸入的區間端值，必須是正負號相反的。如果我們直接輸入一個(-10,0)這個區間，那麼uniroot()函數會出現錯誤。
> result <- uniroot(f2,c(-10,0),a=a,b=b,c=c,tol=0.0001)Error in uniroot(f2, c(-10, 0), a = a, b = b, c = c, tol = 1e-04) : 位於極點邊的f()值之正負號不相反
這應該是uniroot()為了統計計算對一元多次方程而設計的，所以為了使用uniroot()函數，我們需要取不同的區別來獲得方程的根。
以圖形展示方程：y = x^2 + 5*x + 6
# 創建數據點> x<-seq(-5,1,by=0.01)> y<-f2(x,a,b,c)> df<-data.frame(x,y)# 用ggplot2來畫圖> g<-ggplot(df,aes(x,y))> g<-g+geom_line(col='red') #紅色曲線> g<-g+geom_hline(yintercept=0)+geom_vline(yintercept=0) #坐標軸> g<-g+ggtitle(paste("y =",a,"* x ^ 2 +",b,"* x +",c))> g
我們從圖，並直接的看到了x的兩個根取值範圍。
4.3 一元三次方程
一元二次方程：a*x^3+b*x^2+c*x+d=0，設a=1，b=5，c=6，d=-11，求x？
> f3 <- function (x, a, b, c,d) a*x^3+b*x^2+c*x+d> a<-1;b<-5;c<-6;d<--11> result <- uniroot(f3,c(-5,5),a=a,b=b,c=c,d=d,tol=0.0001)> result$root[1] 0.9461458
如果我們設置對了取值區間，那麼一下就得到了方程的根。
以圖形展示方程：y = x^2 + 5*x + 6
# 創建數據點> x<-seq(-5,5,by=0.01)> y<-f3(x,a,b,c,d)> df<-data.frame(x,y)# 用ggplot2畫圖> g<-ggplot(df,aes(x,y))> g<-g+geom_line(col='red') # 3次曲線> g<-g+geom_hline(yintercept=0)+geom_vline(yintercept=0) #坐標軸> g<-g+ggtitle(paste("y =",a,"* x ^ 3 +",b,"* x ^2 +",c,"* x + ",d))> g
4.4 二元一次方程組
R語言還可以解二次的方程組，當然計算方法，其實是利用於矩陣計算。
假設方程組：是以x1,x2兩個變量組成的方程組，求x1,x2的值
以矩陣形式，構建方程組
# 左矩陣> lf<-matrix(c(3,5,1,2),nrow=2,byrow=TRUE)# 右矩陣> rf<-matrix(c(4,1),nrow=2)# 計算結果> result<-solve(lf,rf)> result [,1][1,] 3[2,] -1
得方程組的解，x1, x2分別為3和-1。
接下來，我們畫出這兩個線性方程的圖。設y=X2, x=X1，把原方程組變成兩個函數形式。
# 定義2個函數> fy1<-function(x) (-3*x+4)/5> fy2<-function(x) (-1*x+1)/2# 定義數據> x<-seq(-1,4,by=0.01)> y1<-fy1(x)> y2<-fy2(x)> dy1<-data.frame(x,y=y1,type=paste("y=(-3*x+4)/5"))> dy2<-data.frame(x,y=y2,type=paste("y=(-1*x+1)/2"))> df <- rbind(dy1,dy2)# 用ggplot2畫圖> g<-ggplot(df,aes(x,y))> g<-g+geom_line(aes(colour=type,stat='identity')) #2條直線> g<-g+geom_hline(yintercept=0)+geom_vline(yintercept=0) #坐標軸> g
我們看到兩條直線交點的坐標，就是方程組的兩個根。多元一次方程，同樣可以用這種方法來解得。
通過R語言，我們實現了對於初等數學的各種計算，真的是非常方便！下一篇文章將介紹，用R語言來解決高級數學中的計算問題。
轉自 張丹(Conan)
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