基於新閾值函數的小波閾值去噪算法

小波變換以其多解析度分析的特性，在時頻域內良好的表徵信號的能力以及大小固定形狀可變的窗口等特點，廣泛應用於圖像去噪中，並得到了很好的去噪效果。而小波閾值去噪法是小波分析法在圖像去噪眾多應用中最常用的一種方法，利用閾值處理後的小波係數進行小波反變換重構出去噪後的結果圖像。在小波閾值去噪法中的兩個重要的因素—閾值選取方式和閾值函數，直接決定圖像去噪的效果，所以要針對噪聲和圖像選取合適的閾值函數和最佳閾值，才能最大程度去除圖像噪聲。

本文提出了新的閾值函數，這一函數既滿足函數的連續性，又解決了閾值函數恆定偏差問題。

1、小波閾值去噪原理

小波閾值去噪方法中噪聲通常處於高頻，利用這一特點，通過對高頻部分進行相應閾值化處理，然後進行重構，這樣就達到了去除噪聲的目的。

假設一幅圖像被高斯噪聲汙染的表示形式如下：

為含噪聲圖像;nj，k為高斯白噪聲，服從正態分布N（0，δ^2）正態分布。

小波閾值方法通過以下3步驟進行實現：

1）對fj，k作小波變換，得到小波係數wj，k;

2）通過對wj，k進行閾值化處理，得出小波估計係數w^j，k;

3）利用w^j，k進行小波係數重新構造得到去噪後的圖像f^j，k。

常用的閾值求法有：斯坦無偏似然估計準則、固定閾值準則、啟發式閾值準則和極大極小原理準則。本文採用固定閾值準則固定閾值定義如下：

其中：M×N為圖像的大小。

2、小波閾值函數

2．1、常見的小波閾值函數

小波閾值去噪法的另一種稱呼是閾值函數，也就是利用閾值函數來獲得閾值，閾值函數應用最多的就是Donoho等提出的閾值的方法，而且Donoho等也證明了利用小波閾值去噪比其他經典的去噪方法優越。隨後人們在此基礎上提出了改進的閾值函數，如硬軟折中閾值函數等。硬、軟閾值函數分別如式（3）（4）。

硬閾值函數定義為：

2．2、改進的小波閾值函數

硬、軟閾值方法在去噪方面取得了較好的效果，但它們存在缺點。式（3）雖然解決了|w^j，k－wj，k|的誤差問題，但存在間斷點±λ，在圖像重建時會產生一些附加震蕩，而且比較容易出現Pseudo-Gibbs現象等視覺失真。同樣，式（4）在±λ處連續性好，但|w^j，k－wj，k|存在恆定的誤差，這樣會使圖像的高頻信息產生丟失等失真的現象，且式（4）存在高階求導的困難，不利於進一步用數學工具對它處理。硬軟折中閾值函數對式（3）（4）進行了改進，但依然存在恆定偏差問題。

為了更好地解決以上方法所帶來的問題，文獻分別提出了如下的改進的閾值函數：

式（5）很好地解決了含噪圖像的小波係數與估計小波係數恆等的誤差問題，但它沒有調節因子，顯然不夠靈活，而且連續性差;式（6）雖然解決了連續性問題，但含噪圖像的小波係數與估計小波係數的恆定偏差還是沒有得到很好的解決。為了能夠有效解決上述問題，本文提出了新的函數：

圖1的橫坐標為對fj，k經過小波變換得到的原始的小波係數;縱坐標為對小波係數進行閾值處理後的得到的估計的小波係數。λ為門限值;根據式（7）的函數進行繪圖。圖1中，λ=5，原始小波係數取值範圍為－20～20。

圖1   α=1，n=3時改進閾值函數

2．2．1、改進的閾值函數分析

從數學的角度對式（7）進行如下分析。

1）函數的連續性。

綜上所述：新閾值函數在±λ處連續。

2）函數的漸近性

綜上所述：函數式（7）是以w^j，k=wj，k為漸近線的，也就是說，新閾值函數以w^j，k=wj，k為漸近線。

3）閾值函數的偏差性。

隨著wj，k→∞，w^j，k逐漸接近wj，k，從而克服了w^j，k與wj，k之間具有偏差的問題。

4）函數的高階可導性。

當|wj，k|≥λ時，新閾值函數滿足高階可導，所以便於進行各種數學處理。

5）閾值可變因子α與n影響分析。

當α=0，n=1時，新閾值函數為式（5）;當α=0，n→0時，新閾值函數為軟閾值函數，當n→∞時新閾值函數為硬閾值函數;

當α→∞時新閾值函數就變成為硬閾值函數;因此與式（5）和式（6）相比，新閾值函數不僅具有整體連續性的優點，而且根據實際應用調節非常靈活。

2．2．2、改進的閾值函數去噪算法步驟

第1步選擇合適的小波基函數，小波基一般根據具體噪聲圖像的特點進行選擇。然後對帶噪聲圖像式（1）中fj，k進行多層次正交小波變換，得到一組小波分解係數wj，k，其中：wj，1∈{LHj}（j層水平方向小波係數）;wj，2∈{HLj}（j層垂直方向小波係數）;wj，3∈{HHj}（j層對角線方向小波係數）;（j=1，2，…，l，l表示小波分解的層數）。

第2步對式（1）中噪聲nj，k方差δ進行估計，噪聲方差δ=median（w1，3/c），其中c是常數，一般取0．6745。然後在求出δ的基礎上，根據式（2）求出門限閾值λ的值。

第3步以λ為門限，分別根據式（7）對LHj，HLj，HHj係數進行閾值處理，得到估計的小波係數w^j，k。

第4步根據所得w^j，k小波係數以及其他沒有進行閾值處理的低頻部分的小波係數利用小波基函數進行小波重新構造，從而得到去噪後的圖像f^j，k即f^j，k就是所要求的圖像。

3、實驗結果及分析

為了證明改進閾值函數去噪的有效性，使用Matlab軟體對加0.01的高斯白噪的Lena和Cameraman圖像分別用經典的軟、硬閾值函數、硬軟折中閾值函數以及改進的閾值函數進行仿真實驗。本文基於提升圖像的對稱性，視覺好，更適合於圖像處理，因而選擇coif4基函數，進行四層分解與重構，並進行閾值去噪。去噪效果如圖2所示。

圖2  對Lena圖像不同方法降噪結果

圖3  對Cameraman圖像不同方法降噪結果

為了進一步衡量本文提出新閾值函數的性能，用均方差（MeanSquaredError，MSE）與峰值信噪比（PeakSignal-toNoiseＲatio，PSNＲ）對去噪後效果析。MSE的值越小表示圖像的質量越好;PSNＲ的值越大圖像的質量越好。它們分別定義為：

其中：M×N為圖像大小，gj，k是無噪圖像，f^j，k為去噪得到的圖像。

通過仿真實驗表明：基於改進閾值函數的小波去噪比基於軟閾值函數、硬閾值函數、硬軟折中閾值函數、文獻閾值函數、閾值函數得到較大的峰值信噪比和較小的均方誤差。實驗具體的結果如表1、表2所示。由圖2、圖3可以看出改進閾值函數的小波去噪效果較好。

4、結語

本文在分析了Dohono軟硬閾值、硬軟折中閾值函數的優缺點後，提出了對閾值函數的改進算法。這一閾值函數含有兩個調節閾值因子α和n，通過改變這兩個參數，達到最佳小波係數閾值的估計，經過實驗證明，改進的閾值函數能夠較好地去除圖像噪聲，且可以保護圖像的細節信息。

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