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模型技巧-初中經典模型-經典體系
今天繼續初中代數，說說函數，函數這個東西其實是一個數形結合的東西，既有解析式，也有圖像，所以其受到出題老師的青睞，經常出現在試卷壓軸題的位置。
函數之中的計算非常的重要，到了高中也是，故而勉強把函數歸在代數這一方。
00函數的準備
函數一定要學其圖像，怎麼表示函數的圖像，這就需要坐標系：
做題常用的坐標公式：
雖然這兩個公式好像是高中知識，好像是超綱，但是初中完全可以理解
其實這兩個公式在數軸的時候就已經可以介紹了，只不過講坐標系的時候進行知識的遷移和升華（加上勾股定理）。總之就是易得
01函數的由來
其實在小學階段，就學習了「函數」，只是沒有以這個名字出現而已。
小學學習的正反比例其實就是正比例函數和反比例函數。
函數這兩個字是怎麼來的呢？
02函數學習過程
初中階段學習函數一般是按照下面的過程來學的，高中其實也差不多。
例如：
03學了個假函數
眾所周知，初中學習三大函數，還有一個東西，大多數教材上也叫函數，但其實在初中並不是真正的函數，是為了和高中接軌才這麼叫的，其實滬教版把此內容叫銳角三角比還是挺貼切的。既不研究圖像，甚至變化趨勢也不怎麼提（有提的有不提的）。
三角函數的圖像其實是這樣的：
04函數與方程
函數與方程的結合比較緊密：
如圖：
如下圖，會解一元二次不等式了麼？
05一次函數的幾何性質
一次函數的高寬比：
高寬比，就是函數上任意兩點的鉛錘高度和水平寬度的比值，也有叫縱橫比（縱和橫貌似只是突出了方向屬性，高和寬只突出了長度屬性，我覺得更科學應該叫縱高橫寬比）
我們發現只有一次函數的高寬比是恆與點的位置無關的，也就是只和k 有關，高寬比就等於k的絕對值(所以k也叫斜率（傾斜程度））
（這一點可以結合實際問題去理解，比如vt圖像啊什麼的）
下圖k變化，高寬比變化。
下圖兩點位置變化，高寬比不變。
下圖自己看變化：
剛也說了高寬比是k的絕對值。也就是高寬比相等時候k不一定相等，也可能互為相反數。如下兩圖
因為b 的變化就是直線平移（而且可以看做橫著平移也可以看做豎著平移，也可以看做任何方向的平移），也就是說平移不改變k(和高寬比)，也就是平行直線k相等。
開鎖法與垂直直線斜率：
什麼是開鎖法？如下題：怎麼做？
當然可以看做B旋轉90度，但是這樣的做標特點不明顯啊？！
之前也講過垂直策略，構造三垂直即可計算了。
怎麼樣都可以三垂直都行。
有麼有更簡單的方法（或者更神奇），回到剛才的旋轉90度，如果繞著原點旋轉的話，那兩個點的做標就特別了。（哪特別？不用我說吧）如下圖
這樣可以口算做標，其實不需要輔助線了。
A下3左11到原點，B下3左11到（2,5），此時的C顯然是（-5,2），平移回去，上3右11得真正的C的做標（6,5）
因為過程分為三步（1拿出來對準位置，2旋轉，3放回去），和開鎖的三步差不多（也是1拿出來對準位置，2旋轉，3放回去），故名開鎖法。（我也是看萬偉華老師的大作學習的）
如果連出直線會怎麼樣？發現兩垂直直線的高寬比就是互為倒數的 啊啊。
顯然k是一正一付，所以也說垂直直線斜率k互為負倒數。
關於直線對稱的點和直線
剛剛是旋轉，那麼對稱呢？（點平移就不說了左減右加，上加下減），如圖：已知一條直線和一個點，怎麼求它的對稱點呢？利用對稱的性質即可。
抓住垂直和中點
顯然直線是由兩個點確定的，如果B的對稱點確定也就是AB的對稱直線確定了。（不喜歡交點A也可以從新找一點求對稱點啊）
而且顯然，一條直線關於另一條條直線對稱，所得直線的斜率只跟他倆的斜率有關啊？所以可以得到一下斜率關係（記不住就別記了）。也就是知道兩個斜率就可以直接求第三個斜率。（不知道公式也可以先求對稱點再確定直線啊）
暴力建系，解析法：
有了關於一次函數的這些知識，以後在做幾何問題的時候（計算），可以採用建立坐標系的方法。這種方法的特點是，暴力無腦，不需要多想，但是計算比較麻煩。適用於每個點做標都能求出來的幾何題（必須直線型問題，圓是夠嗆的）。
有的人很鄙視這種方法，覺得它破壞了幾何之美，太無腦了。也有人把他當做制勝的法寶。其實自己建立做標系是多數教材都有的內容，只不過大多是建系解決位置實際問題，沒有用在幾何問題上。其中蘊含的解析幾何思維在初中是比較新鮮的，（高中就很常見了）。仁者見仁智者見智，這個方法好與不好，您自己說了算。
06反比例函數的幾何性質
（封面圖）
面積性質
這幾個面積性質應該是一目了然，注意動點在兩支上的性質是一樣的，後面的性質更能題現。
都是面積相等
稍稍的等量代換面積依然相等
平行關係
如圖，雙曲線上任意兩點（可同支可異支），向坐標軸分別做垂線段，連接垂足（一個屬於x軸一個屬於y軸）垂足連線平行與兩點的連線（後面會用）。這一點可以設兩點做標導出成比例即可證明平行（太簡單我就不寫了）。
如下同支：
如下異支：
通過設點坐標的方法可以更好的體會，為啥在不在同支都是成立的，因為點坐標是不區分再哪一支的。所以得到的成比例是始終成立的，從解析式的角度理解，雖然雙曲線是兩部分，但是解析式是一樣的，所以兩支雖型分離其實是一個整體。
線段關係
031
AD=BC恆成立
第一次看到這個結論我有點不敢相信自己的眼睛，確實有點神奇，還是雙曲線上兩個點（不論同異支），他們和他們的連線與做標軸交點的距離相等。
證明如下用到了剛才的平行結論了。
由平行顯然三個三角形全等，結論成立。（下圖為同支）
由平行顯然三個三角形全等，結論成立。（下圖為異支）
032
圖中條件：A，M為中心對稱點（可看做正比例函數交點），過A做垂線AF，連接FM並延長交雙曲線與點N則，結論：AN=NF=FP=PM
簡證：（無需輔助線），顯然O為AM中點，P為FM中點（中位線），PF=PM。由上邊的031得FN=PM。N和P的橫坐標互為相反數，N的橫坐標為A的一半，AF垂直於Y軸，所以NF=NA。證畢
033
AF垂直於Y軸，做AF的中垂線分別交於點Q，E則AEFQ為菱形。
設A點做標，易得AF，QE互相垂直平分，結論顯然成立。
角度關係
041
如圖四邊形ABST為平行四邊形，則圖中所標的同色角相等。
再想他怎麼證明的時候我是先想這個平行四邊形怎麼畫出來的。A，B確定這個平四就應該確定了。
證明：如下圖A，B分別做垂線，由平行四邊形可得，三角形SBE與三角形ATH全等。若設A，B做標，可得HD=EB=x(B),ES=AH=y(A) .
由031證明時候用的全等（下圖）得EB=HD=TH，AH=CE=ES。所以三角形BCS，三角形ATD皆為等腰，又因為02平行關係，AB平行於ST，結論成立。
042
ABST為平行四邊形則STWV為菱形。
如下圖：由剛才041得ATD，BCS皆為等腰三角形。又因為平四AT平行於SB，AB平行於ST。所以：BVD，ACW皆為等腰，進一步SVT，TSW皆為等腰，且SV與TW平行，所以STWV是菱形。
043
如圖A，M為中心對稱點，A，B為同支任意兩點，連接BM。連直線AB，交點如圖，則標同色的角相等
其實就是兩個等腰。
證明如下圖，取AB中點M，由041得M也是CD中點，在Rt三角形OCD中（斜邊中線）顯然，MOD，MOC皆為等腰。MO平行於BM（中位線），所以BED，BCZ為等腰，證畢。
可以發現這個方法也能用來做041裡的平行四邊形。再找B 的中心對稱點B'，連接AB'交x軸的點就是平四的另一個頂點。
032其實也屬於這個情況的特殊情況，延長直線後依然是有等腰的只是沒畫出來。
我們發現02平行，031相等線段在後面的性質證明中發揮了重要作用，所以要主記這兩個性質。
07二次函數的幾何性質
昨天說了高寬比今天總結一下二次函數與幾何相關的性質。
高寬比
所謂「高寬比」 其實就是函數上兩點之間的「鉛錘高」和「水平寬」之比。在一次函數中，高寬比基本可以看做高中的斜率。初中的時候也可以適當的介紹。
藉助GGB（GeoGebra從「0」基礎到入門精通教程01-09+實操案例整合版）軟體，探究下二次函數的高寬比是什麼樣的？
取一個頂點和其他任意點，高寬比並不是常數，根據過原點的二次函數解析式易得，高比寬方才為定值（就是二次項係數a）。並且可以推廣平移至任何的二次函數圖像。
如下圖；注意觀察，a變化但是BC/OC方始終等於a.並且可以推廣平移
下圖依然：a變化但是BC/OC方始終等於a.並且可以推廣平移
平移：
B變換位置比值BC/OC方依然不變，平移後依然成立
如果不取頂點而是任意兩個點的高寬比和高/寬方，那麼這兩個比值都會隨著點D，E的變化而變化。
如果讓其中一個和頂點重合此時，再移動另一個點，比值就不會再變了，而是始終等於a.
綜上我們得出結論，二次函數存在高比寬方，當其中一個點是頂點的時候，高比寬方為a(二次項係數),當兩個點都不是頂點的時候，高比寬（方）的值，與兩個點的橫坐標有關.(到底有什麼關係？其實可以設點做標計算)
平行弦的性質
首先要知道什麼叫二次函數裡的弦，其實就是曲線上兩點的連線。它有什麼樣的性質呢？
如下圖k確定的一組直線系，和二次函數交於兩點形成弦，弦的中點橫坐標是不變的，注意這就說明了k固定的直線系和二次函數的交點組成的弦的中點橫坐標不受b的影響。
這樣一來我們平移這組（條）直線，兩個交點必然是越來越近，總有一個時刻，兩交點重合也就是相切的時候，此時顯然中點也和兩個點重合了。 也就是說切點的橫坐標就是弦中點的橫坐標。
想一想是不是可以解決三角形面積最大值問題。已知AB在AB下方的函數圖像找一點C使得三角形ABC面積最大，這個C是切點的時候面積最大（AB看做底高最大）（也可以看做鉛錘高最大（下文）），如果A，B做標已知可以快速算出C的做標。
如下圖同樣設點做標易得證。
二次函數內接三角型面積公式
其實就是割補的一種，叫做寬高法，可以選任意兩點水平距離為水平寬，第三點做豎直線與剛才兩點所在直線交點的距離為鉛錘高。
第一種：
第二種：
第三種：
各種變化都是一樣道理：
如下圖，這裡因為三個點都在拋物線上，所以水平寬和鉛錘高還有一個特別的關係：看到了麼？用漢字敘述不太好說，我就不打字了，大家可以自己試著用漢語敘述一下。
這樣一來，寬高公式可以寫成下面這樣：
通過公式我們可以看出，拋物線內接三角型的面積，和a有關，還和三點的水平相對位置有關，（也就是和b,c都沒關係）具體來說就是其中一個點和另外兩個點的水平距離有關（即公式中的MQ，MN，特別注意下圖是用A做垂直找鉛錘高，換成B，C也是可以的）
簡證：
為啥和b,c 沒關係，因為a決定了拋物線的大小（注意是大小不是形狀，為什麼不是形狀一會在下面會說（拋物線都相似）），b,c只能決定拋物線的位置（不改變大小和形狀）。
(插播)a,b,c對拋物線的影響
如下圖a對圖像的影響：
如下圖b對圖像的影響：
如下圖c對圖像的影響：
什麼！？ b 的影響你沒看清，我們追蹤一下頂點再看看下圖：
b變化時，每一個點的軌跡都與拋物線自身形狀相同，且倒映在水面。。。
拋物線都相似？？？
我第一聽說的時候也是大吃一斤，還百度了一下：
怎麼看也不像相似。
加上輔助線再隱去一部分：
看著還不行，換個地方試試看看：
是不是舒服多了：
再換一個地方看看：
從理論角度分析一下：c具有任意性，所以對於任意的對應的點就都成立了啊。
（本次及以往所做動圖和源文件將分享在QQ群文件）
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