高一數學(下)任意三角函數

2021-01-08 丹格教育

在以前學習過銳角三角函數，它以銳角為自變量，以比值為函數值。下面我們利用平面直角坐標系，研究任意角的三角函數。#數學學習#

設α是一個任意角，α的終邊上任意一點P（x，y），它與原點的距離為：r，那麼：

高一數學（下）任意三角函數

（1）比值 y/r 叫做 α 的正弦，記作 sin α，即

sin α ＝ y/r ；

（2）比值 x/r 叫做 α 的餘弦，記作 cos α，即

cos α ＝ x/r ；

（3）比值 y/x 叫做 α 的正切，記作 tan α，即

tan α ＝ y/x ；

高一數學（下）任意三角函數

根據相似三角形的知識，對於一個確定的角 α ，這三個比值不會隨點P的位置的改變而發生改變。

當 α ＝ π/2 ＋k π（k∈Z）時，α 的終邊落在 y 軸上，此時任意點P的橫坐標 x 都等於 0 ，即 tan α ＝ y/x 無意義。

高一數學（下）任意三角函數

如圖，設任意角 α 的頂點在原點 O ，始邊在 x 軸的非負半軸，終邊與單位圓（圓心在原點 O ，半徑等於單位長度的圓）相交於點 P（x，y），過 P 作PM⊥x軸，垂足為 M 。過點 A（1，0）作單位圓的切線 AT 交角 α 的終邊於點 T 。

易知，線段 OM 的長度為 丨x丨，線段 MP 的長度為 丨y丨，均只能取非負值。

當角 α 的終邊不在坐標軸上時，可以將 MP、OM 看作是帶有方向的線段：

如果 x ＞ 0 ，把 OM 看作與 x 軸同向，規定此時 OM 具有正值 x ；如果 x ＜ 0 ，把 OM 看作與 x 軸反向，規定此時 OM 具有負值 x .由此，不論哪種情況，都有 OM ＝ x .

如果 y ＞ 0 ，把 MP 看作與 y 軸同向，規定此時 MP 具有正值 y ；如果 y ＜ 0 ，把 MP 看作與 y 軸反向，規定此時 MP 具有負值 y .由此，不論哪種情況，都有 MP ＝ y .

這種被看作帶有方向的線段，叫做有向線段。

根據正弦、餘弦函數的定義，有：

高一數學（下）任意三角函數

當角 α 的終邊在 x 軸上時，正弦弦、正切線分別變成一個點；當角 α 的終邊在 y 軸上時，餘弦線變成一個點，正切線不存在。

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