專題二:行列式的計算公式

2021-02-24 聊大數科院團委
專題二:行列式的計算公式

本部分主要介紹行列式計算的一些公式,這些公式基本上都與分塊矩陣有關.

首先,下面的結論都是熟知的.

設

對於分四塊的矩陣的行列式計算,一般利用分塊矩陣的初等變換化為上面幾種形式之一進行計算.比如下面的例子.

例

設

為

由於

兩邊取行列式,並注意到

即得結論成立.

下面的例子也是典型的一個哦

例

(蘭州大學,2015)設

證

(1)若

兩邊取行列式,並注意到

(2)若

上式兩邊都是

上例是計算分塊矩陣的行列式,而下例則是通過構造分塊矩陣來計算行列式.

例

(北京郵電大學,2018)設

證

首先

另一方面

所以

注意此例中的

例

(中山大學,2016)設

其中

證

(1)若

(2)若

上式兩邊均為

上面兩個例子 的結論可以用來計算行列式哦.看下例.

例

(華南理工大學,2013)計算下列

解

令

則

下面的例子也是常見的一個,其結論也有很多應用.

例

(西安電子科技大學,2007;武漢大學,2012;中國科學院大學,2020)設

證

(法1)由於

兩式兩邊取行列式可得.

(法2)(1)先證明

若

若

上式兩邊是關於

(2)不妨設

注意到

可得

故結論成立.

(法3)設

設

其中

同理可得

故結論成立.

有了這個結論,下面的例子就是顯然的了.

例

設

證

先證

(法1)在上例中令

(法2)反證法.若

這與

再求

(法1)由於

於是

即

於是

(法2)設

即

上式左乘

即

從而

故

於是

好了,上面介紹的方法,你學會了嗎?

練習(南京航空航天大學,2013)設

(1)

(2)若

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