思維遊戲:三角形數和正方形數

【題記】

子貢謂孔子為「多學而識之者」。夫子自道：「非也。予一以貫之。」——《論語》

謙受益。——《尚書》

◆　基本玩法

在大自然裡，處處充滿了規律。星體的運行，四季的變化，機械的操作，美麗的圖形等等，都可以用一些數表示出規律來。

我們已經認識了正方形和三角形。現在，我們就來做一個遊戲，研究這兩個圖形和數的內在聯繫。先來認識三角形數。

你注意到了嗎，商店櫥窗裡的罐頭盒一般都是如圖所求那樣排列的。它們按照一定的規律排成了三角形。現在你能用一些圓點來表示這些罐頭盒嗎？其實可以這樣表示（如圖）。

數一數這些小圓點的個數，你發現什麼呢？

為了能方便地看出規律，我們把三角形數改排成如下圖。 觀察這些三角形數，你發現它們有什麼規律嗎？

想一想：能不能把9個圓點按上面的規律排成一個三角形？9是不是三角形數？

再想一想：能不能把25個圓點按上面的規律排成一個三角形？25是不是三角形數？

◆　指點迷津

原來三角形數是從l開始的連續自然數的和。l是第一個三角形數，3是第二個三角形數，6是第三個三角形數，10是第四個三角形數，15是第五個三角形數……那麼，第七個三角形數就是：

l＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28；

第九個三角形數就是：

1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45；

第十個三角形數就是：

1＋2＋3＋…＋10＝55；

第100個三角形數就是：

l＋2＋3＋…＋100＝5050。

 ……

像1、3、6、10、15、21……這些能夠表示成三角形的形狀的總數量的數，我們叫做三角形數。

◆　聰明進階

現在我們再一起來玩玩「正方形數」。 如下圖，請你在準備好的格子紙上照下面的樣子畫出小圓點，你發現什麼了？

原來，任何自然數的平方，都可以用圓點排成正方形。像上面的l、4、9、16、25……這些能夠表示成正方形的形狀的總數量的數，叫做正方形數（也叫做平方數）。

正方形數還有什麼規律呢？請同學們自己來研究，並把它表述出來。

●　參考答案

我們把每一次得到的正方形數重疊起來，你又會發現什麼呢？

從前面的幾個正方形圖可以知道，每後一個圖中的圓點數，都包含著前一個圖中的圓點數；而在前一個圖的外面增加若干個圓點，就可以得到後一個正方形圖（如圖）。想一想：照這樣畫下去，在上圖外圍的虛線框裡要畫上多少個圓點，就又可以得到一個新的正方形圖？

你能把上面虛線框裡的圓點補上嗎？並能填在下表中：

　 1

=1

=12

1＋3

=4

=22

1＋3＋5

=9

=32

1＋3＋5＋7

=16

=42

1＋3＋5＋7＋9

=25

=52

1＋3＋5＋7＋9＋(  )

=(  )

=(  )2

原來正方形數是從1開始的連續奇數的和。l是第一個正方形數，4是第二個正方形數，9是第三個正方形數，16是第四個正方形數，25是第五個正方形數……那麼——

第7個正方形數就是：l＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝49（即72）；

第8個正方形數就是： l＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＝64（即82）；

第9個正方形數就是：l＋3＋5＋…＋17＝81（即92）；

第10個正方形數就是：l＋3＋5＋…＋19＝100（即102）。

從上面四個算式可以發現：把每個算式第一個加數加上最後一個加數的和，再除以2，得到的是幾，這個算式的和就是幾的平方。如：

l＋3＋5＋…＋13＝［（l＋13）÷ 2]2=72

1＋3＋5＋…＋15＝［（1＋15）÷  2]2=82

l＋3＋5＋…＋17＝［（l＋17）÷ 2]2＝92

l＋3＋5＋…＋19＝［（1＋19）÷ 2］2＝102

……

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