2014重慶真題A卷第24題
24．（10分）(2014年重慶市)如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC於點E．在△ABC外有一點F，使FA⊥AE，FC⊥BC．
（1）求證：BE=CF；
（2）在AB上取一點M，使BM=2DE，連接MC，交AD於點N，連接ME．
求證：①ME⊥BC；②DE=DN．
問（1）等腰直角三角形中常見的「旋轉」。
△BAC是等腰直角三角形，∠ABC=∠ACB=45°，FC⊥BC,∠BCF=90°，∠ACF=45°。
FA⊥AE,∠BAC=∠EAF=90°，∠BAE=∠CAF。
△BAE≌△CAF（SAS），BE=CF.
問（2）①角分線的性質和線段長的關係總歸要利用起來。過點E作EG⊥BM於點G，設ED=a.
EG=ED,∠B=45°，△BGE是等腰直角三角形，BG=MG=a,△MGE也是等腰直角三角形，∠MEB=90°，ME⊥BC
②思路還是比較直觀的，想證明直角△EDA和直角△NDC全等。
DA=DC，缺少一個條件。
上一問中，已經證明ME⊥BC，tan∠MCE=ME/EC，tan∠EAD=ED/DA
算一下，會發現正切值是相等的。
由全等得線段長相等。
或者這樣證明，∠MAC=∠MEC=90°，∠MEA=∠EAD=∠MAE，MA=ME.
則MC也是∠ACE的角分線，∠EAD=∠NCD=22.5°。